틀을 깨는 기발한 수학

빈출 분수함수 그래프 개형 분석 $$y=\frac{bx}{x^2 +a} (a>0, b>0)$$ 기함수(원점대칭)이다. $x=\pm \sqrt{a}$ 에서 극값을 갖는다. 원점 및 $x=\pm \sqrt{3}a$에서 변곡점을 갖는다. $y$ 축을 점근선으로 갖는다. [증명] $f'(x)=\displaystyle\frac{b(x^2 +a)-bx(2x)}{(x^2 +a)^2}=\displaystyle\frac{-b(x^2 -a)}{(x^2 +a)^2}=0$ 에서 $x=\pm \sqrt{a}$에서 극값을 갖는다. \begin{flalign} f''(x)&=\displaystyle\frac{(-2bx)(x^2 +a)^2-(-bx^2 +ab)\cdot 2(x^2 +a)\cdot 2x}{(x^2 +a)^4} \\ &..

한 점에서의 접선의 방정식 구하는 팁 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=ax+b$ 가 $x=t$에서 접할 때 \begin{align} (\textrm{i})\;\; f'(t)&=a \\ (\textrm{ii}) \;\; f(t)&=at+b \end{align} 대부분 교재에서는 이런 유형의 문제를 설명할 때 $x=t$에서 접선의 방정식을 구하고 그 접선이 $y=ax+b$와 같다는 원리로 설명한다. 이 방법은 접선을 구하지 않고 공통접선을 구하는 방법을 이용한 것이다. 더 간편하고 신속하게 미정계수들을 구할 수있다. Example 1 함수 $y=x \ln x + 4x$ 와 직선 $y=5x+a$ 가 접할 때, 상수 $a$ 의 값은? [풀이] 접점의 좌표를 $t$ 라 하면 (i) $\ln t =5=5 ,$ ..

곡선 밖에서 그은 접선의 방정식 곡선 밖의 점 $(a, b)$에서 함수 $y=f(x)$에 그은 접선의 방정식에서 접점의 좌표를 $(t, f(t))$ 라 하면 $$\frac{f(t)-b}{t-a}=f'(t)$$ 을 이용하여 접점의 좌표를 구한다. [증명] 접점 $(t, f(t))$ 에서의 접선의 기울기는 두 점 $(a, b),$ $(t, f(t))$ 이은 기울기와 같아야 한다. $$\therefore \;\frac{f(t)-b}{t-a}=f'(t)$$ 소소한 팁이지만 접선의 방정식을 구한 후 다시 점$(a, b)$를 대입한 방법 보다 신속하게 접점의 좌표를 구할 수 있다. Example 1 점 $(0,-4)$ 에서 곡선 $y=x^3 -2$ 에 그은 접선의 방정식을 구하여라. [풀이] $\displaysty..

최대 시야 문제 $\overline{\textrm{BC}}=a,$ $\overline{\textrm{BD}}=b, $ $\overline{\textrm{AB}}=x$ 인 직각삼각형 ABC에서 $\angle \textrm{CAD} =\theta$ 라 할 때, $\theta$ 의 최대일 때, $x$의 길이는 $\sqrt{ab}$ 이다. 그 때의 $\tan \theta = \displaystyle \frac{a-b}{2 \sqrt{ab}}$ (단, $a>b$ ) [증명] $\angle \textrm{BAC} =\alpha ,$ $ \angle \textrm{BAD} =\beta $ 라 하면 \begin{align} \tan \theta &= \tan (\alpha - \beta)=\displaystyle\fr..

벡터 내적을 이용하여 삼각함수 합성 $$a\cos \theta + b \sin \theta = (a, b) \cdot (\cos \theta, \sin \theta)$$ 삼각함수의 합성을 벡터의 내적으로 바꾸어 표현할 수 있다. 일반적이 삼각함수의 합성은 이 번 포스팅에서는 다루지 않겠다. 이 블로그의 주제는 "다르게 생각하기"이기 때문이다. 일반적인 삼각함수의 합성보다는 벡터의 내적을 이용하는 방법이 조금 더 직관적이라 할 수 있다. 왜냐면 삼각함수의 합성을 기하학적으로 접근하기 때문이다. 벡터의 내적의 기하학적 의미 점 P 가 어두운 영역에서 움직일 때 $$ \overline{\textrm{OT}}\times \overline{\textrm{OB}}\leq \overrightarrow{\textrm{..

다항함수 $\times e^x$ 그래프 개형 분석 $(ax^2 +bx + c)e^x$ 는 고득점 킬러 문항에서 자주 출제된다. 반드시 그래프 개형을 알고있어야 한다. 그래프 개형을 알고 있으면 극대, 극소, 최대, 최소, 변곡점 존재유무까지 예상할 수 있는 강력한 정보를 제공한다. 그래프가 올라가는 방향(머리방향)(다항함수 최고차항이 결정) 점근선 $y$ 축 위치 (꼬리방향 위 or 아래) $x$ 축 과 교점의 개수(관통 또는 접하고 튕기는지 또는 접하고 뚫은지 파악) $y=(ax^n + \cdots+)\times e^x (a>0)$ $\Rightarrow $ 우상향(↗) 머리방향 결정 $\Rightarrow $ $x$축과 교점(근) 확인 $\Rightarrow $ 꼬리방향(점근선) 결정 (1) $y=(..

합성함수에서 평균값 정리의 직관적 이해 평균값 정리는 함수 $f(x)$ 는 닫힌구간 $[a, \;b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, \;b)$에서 미분가능할 때 $$\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$ 인 $c$ 가 열린구간 $(a, b)$ 에 적어도 하나 존재한다. 더 확장하여 합성함수에서 편균값의 정리를 적용해보자. 함수 $f(x)$ 가 닫힌구간 $\left [ \;g(x),\; h(x) \; \right]$ 에서 연속이고 열린구간 $\left [ \; g(x), \; h(x) \; \right ] $ 에서 미분가능할 때 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=k$ 이면 $$\di..

변곡점을 갖기 위한 그래프적 해석 함수 $f(x)$가 변곡점을 갖기 위해서는 $y=f''(x)$의 그래프가 $x$ 축을 뚫어야 한다. 증감표 보다 훨씬 심플하고 직관적이고 강력하다. Example 1 $f(x)=e^x +kx^2$ 가 변곡점을 갖지 않을 때, 실수 $k$ 값의 범위를 구하여라. [풀이] $f''(x)=e^x + 2kx$ 가 $x$ 축을 뚫으면 안되므로 $f''(x)$의 최솟값인 $2k$ 가 양수이면 된다. $2k>0$ $\therefore\; k\geq 0$ Example 2 함수 $f(x)=-3 \cos x + \displaystyle\frac{1}{2}ax^2 + 1$ 이 변곡점을 가질 때, 실수 $a$ 의 값의 범위는? [풀이] $f'(x)=3 \sin x + ax,$ $f''(x)..

극값을 가질 조건 함수 $f(x)$ 가 극값을 갖기 위해서는 도함수 $f'(x)$의 그래프가 $x$ 축을 뚫으면 된다. $f'(x)$가 $x$ 축을 뚫을 때, 그 점에서 $f(x)$는 극값을 갖는다. $f'(x)=0$을 만족하는 값에서 부호변화 조사 또는 증감표로 이용해서 극값을 조사할 수 있지만 가장 직관적인 방법은 $y=f'(x)$의 그래프가 $x$축을 관통하면 된다. Example 1 $f'(x)=|x|+k$ 일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $y=f(x)$ 가 극값을 갖기 위한 실수 $k$ 값의 범위는? [solve] $f'(x)$ 의 최솟값이 음수이면 $x$ 축을 뚫는다. $\therefore \;k0$ (iii) $-1

도함수가 $x$ 축을 뚫지다. 함수 $y=f(x)$ 가 증가함수 또는 감소함수 일대일대응 역함수가 존재한다. 극값을 갖지 않는다. $f'(x)\geq 0$ 또는 $f'(x) \leq 0$ 다 필요없다. 도함수 $f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다. 이게 핵심이다. 반대로 뚫으면 $f(x)$ 는 극값을 갖는다. Example 1 함수 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 3ax$ 가 실수 전체의 집합에서 증가함수가 되도록 하는 실수 $a$ 값의 범위를 구하여라. $x_1 < x_2 $ $\Rightarrow $ $f(x_1 )< f(x_2 ) $ 만족하면 증가함수이다. [풀이] $f'(x)=x^2 -2ax + 3a$ 에서 $y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 ..