틀을 깨는 기발한 수학

등비급수로 표현된 함수의 연속 조건 함수 $f(x)$ 를 다음과 같이 정의 할 때, $$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^k}{(1+x^m )^{n}}$$ $(1)\;\; k >m$이면 함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속 $(2)\;\; k \leq m$ 이면 함수 $f(x)$는 $x=0$ 에서 불연속 ( 단, $m$ 은 $2$ 이상의 자연수, $k$ 는 자연수 ) [proof] $(\rm {i})\; x \neq 0$ 이면 $0m$ 이면 함수 $f(x)$ 는 모든 실수 $x$에 대하여 연속이다. Example 1 다음 함수 중에서 실수 전체 집합에 대하여 연속인 함수를 모두 고르면 (가) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\f..

교대급수의 수렴 발산 다음과 같은 꼴(고등수학 내신 빈출 유형)의 교대급수의 수렴 발산을 구하는 강력하고 간단한 방법이다. $$S=A-B+B-C+C-D+D- \cdots $$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}=0$ 이면 급수 $S$는 수렴한다. [증명] 수열 $\left\{ a_n\right\}$ 에서 첫번째 항부터 제 $n$항까지의 합을 $\left\{ S_n\right\}$ 이라 하면 $S_{2n-1}=A-(B-B)-(C-C)-(D-D)- \cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})=A$ $S_{2n}=(A-B)+(B-C)+(C-D)+ \cdot +(a_{2n-1}-a_{2n})=A-a_{2n}$ $\displaystyle \lim_{ n\to \infty..

수렴하는 두 급수는 선형성을 갖는다. $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\alpha,\;\; \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\beta $ 이면 $$ p\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}+ q\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=p\alpha+ q\beta $$ 즉, 수렴하는 두 급수끼리 더하거나 빼주어(지지고 볶아도)도 수렴한다. 증명은 고등학교 수학 수준을 간단하게 뛰어 넘으므로 생략하기로 한다. Example 1 두 급수 $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left ( a_{n}-b_{n}+\frac{n}{n+1} \right )$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\i..