틀을 깨는 기발한 수학

n개의 공을 m개의 상자에 담는 다양한 방법을 통해서 각각의 상황에 맞는 차이를 분석해 보도록 하자. $ \blacksquare $ 상자 구분(O) | 공 구분(O) | 빈 상자가 있어도 되는 경우 $$ {}_{m}\Pi _{n} =m^n $$ Example 1 서로 다른 5개의 공 1,2,3,4,5를 서로 다른 상자 A,B,C에 넣는 방법을 수를 구하여라.(단, 빈상자가 있어도 된다.) [해설] 이 경우는 중복순열 문제가 된다. 1번 공을 담는 방법은 3가지 2번 공을 담는 방법은 3가지 3번 공을 담는 방법은 3가지 4번 공을 담는 방법은 3가지 5번 공을 담는 방법은 3가지 $$ 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 ={}_{3}\Pi _{5} $$ $ \blacksq..

정\(n \)각형 ( \(n\)은 짝수)에서 (1) 직각 삼각형의 개수 \(n=2k \) \( \left(k \geq2 \right) \) 라 하자. \(2k \)개의 꼭짓점 중에서 하나의 점을 선택해준다. \( \Rightarrow \) \(2k \) 가지 \( \cdots \cdots (a) \) [그림1]에서는 \( A_{1} \)을 선택했다고 하자.) 점 \( A_{1} \)을 기준으로 반시계 방향을 \( x \) 칸 떨어진 위치에 한 점을 잡아주고 다시 그 점에서 \( y \) 칸 떨어진 위치에 나머지 한 점을 잡아준다. *한 방향으로만 식을 세워야지 직각삼각형이 중복되지 않는다. \( x+y=k\) \( \left(x \geq1, y \geq1 \right) \) \( _{2} \rm H \)..

(1) \( n=2k \) \( \left( k \geq3\right) \) 일 때, 원의 둘레를 \(2k\)등분한 점을 차례로 \(A_1 , A_2 , \cdots , A_{2k} \)이라 할 때, 점 \(A_1 \)을 포함하는 둔각삼각형을 생각해보자. [그림1]에서 점선을 기준으로 같은 방향에서 서로 다른 세 점을 선택해야 둔각삼각형이 만들어 진다. 즉, \(A_1 \)을 제외하고 나머지 \(k-1\)개의 점중에서 2개를 선택하는 방법과 같다. (i) \(A_1 \)을 선택하는 방법의 수 \( \Rightarrow \) \(2k\)가지 (ii) \(A_1 \)을 포함하는 반원에서 \(A_1 \)을 제외한 \(k-1\)개의 점에서 두 점을 선택하는 방법의 수 \( \Rightarrow \) \( _{k..

정 \(n\) 각형에서 직각삼각형의 개수를 구해보자. 단, \(n=2k\)이다. 원의 둘레를 \(n\)등분한 점을 차례로 \( A_1 , A_2 , A_3 , \cdots , A_{2k} \)이라 할 때, 지름에 대한 원주각은 직각이므로 \(n=2k\) 개의 꼭짓점에서 두 점을 선택하여 길이가 지름인 선분의 개수는 \(k\)개다. 또, 지름 양쪽 두 점을 제외하고 나머지 한 점을 선택하는 방법의 수는 \(n=2k-2\) 이다. 따라서 직각삼각형의 개수는 $$ \therefore k \times \left(2k-2 \right) $$이다. 틀깨기수학강의 | 틀깨기 유튜브 | 틀깨기 네이버 블로그 | 개인지도 문의 (서울/경기)

부등식 \( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n \) 을 만족하는 음아닌 정수해의 개수는 $$ \ _{k+1} \mathrm {H} _{n} $$ 착안점은 부등식을 방정식으로 변형해주면 된다. $$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n $$ $$ \therefore \ _{k+1} \mathrm {H} _{n} $$ (1) \( \ x_{1} + x_{2} + x_{3} +, \cdots, + x_{k} < n \) 을 만족하는 음아닌 정수해의 개수는 \( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n-1 \) 로 변형한 다음 마찬가지 방법으로 ..

다음과 같은 등식이 성립합을 식이 아닌 조합론적(스토리해석적)으로 해석해보기 하자. \( _{n} \mathrm{C} _{0} \) + \( _{n+1} \mathrm{C} _{1} \) + \( _{n+2} \mathrm{C} _{2} \) + \( \cdots \) + \( _{n+r} \mathrm{C} _{r} \) = \( _{n+r+1} \mathrm{C} _{r} \) 우선, 우변의 \( _{n+r+1} \mathrm{C} _{r} \)은 집합 A=\( \left \{ 1, 2, 3, 4, \cdots , n+r+1 \right \}\)의 부분집합 중에서 원소의 개수가 \( \mathit {r}\)인 부분집합의 개수이다. 한편, 원소의 개수가 \( \mathit {r}\)인 집합 A의 부분집..