분수함수 그래프 개형 I

  빈출 분수함수 그래프 개형 분석

$$y=\frac{bx}{x^2 +a} (a>0, b>0)$$

1.  기함수(원점대칭)이다.
2.  $x=\pm \sqrt{a}$ 에서 극값을 갖는다.
3.  원점 및 $x=\pm \sqrt{3}a$에서 변곡점을 갖는다.
4.  $y$ 축을 점근선으로 갖는다.

[증명]

 

$f'(x)=\displaystyle\frac{b(x^2 +a)-bx(2x)}{(x^2 +a)^2}=\displaystyle\frac{-b(x^2 -a)}{(x^2 +a)^2}=0$

에서 $x=\pm \sqrt{a}$에서 극값을 갖는다.

 

\begin{flalign}

f''(x)&=\displaystyle\frac{(-2bx)(x^2 +a)^2-(-bx^2 +ab)\cdot 2(x^2 +a)\cdot 2x}{(x^2 +a)^4} \\

&=\displaystyle\frac{2bx(x^2 +a)(x^2 - 3a)}{(x^2 +a)^4} \\

&=\displaystyle\frac{2bx(x^2 +a)(x - \sqrt{3}a)(x+\sqrt{3}a)}{(x^2 +a)^4}=0 &&

\end{flalign}
에서 $x=0,$  $x=\pm \sqrt{3}a$ 에서 변곡점을 갖는다.

 

 

Example 1

함수 $f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2 + 1}$ 그래프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. 함수 $f(x)$는 원점대칭이다. ㄴ. $x=\pm 1$ 에서 극값을 갖는다 ㄷ. 변곡점은 $x=-\sqrt{3}, 0 , \sqrt{3}$ 에서 갖는다.

[풀이] ㄱ.ㄴ.ㄷ 모두 참이다.

 

 

 

 

 

 

Example 2

양수 $a$ 에 대하여 $\left [ -a-1, a \right ]$ 에서 함수 $f(x)=\displaystyle\frac{2x}{x^2 +1}$ 의 최댓값을 구하여라.

[풀이] 

$x=1$에서 극댓값을 가지므로 $a \geq 1$ 일 때 최댓값 $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이다.

 

 

 

 

 

Example 3

방정식 $\displaystyle\frac{8x}{x^2 + 4}$ 가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 $k$ 의 값은?

[풀이]  $y=\displaystyle\frac{8x}{x^2 + 4},$  $y=k$ 의 그래프에서

 

$x=\pm 2$ 에서 최댓값 $2$,  최솟값  $-2$을 갖는다. 

$\therefore \;-2 < k< 0$   또는 $0<k<2$

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

Example 4

양수 $a$ 에 대하여  구간 $[-a, a]$ 에서 함수 $f(x)=\displaystyle\frac{x-5}{(x-5)^2 + 36}$ 의 최댓값을 $\textrm{M},$ 최솟값을 m이라 할 때, $\textrm{M}+m=0$ 이 되도록 하는 $a$ 의 최솟값은?  [2006년 수능]

[풀이] $x-5=t$ 로 치환하면 

$$y=\displaystyle\frac{t}{t^2 + 36}\;\;(-5-a \leq t \leq -5+a)$$

 

 

$-5+a \geq 6$  에서 $\therefore \; a \geq 11$

 

 

 

 

 

 

Example 5

곡선 밖의 점 $(a, 0)$에서 곡선 $y=\displaystyle\frac{4x}{3x^2 +1}$에 세 개의 접선을 그을 때, 실수 $a$의 값의 범위는? (단, $a>0$ )

[참고] 변곡접선은 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수와 밀접한 관계가 있다.(다른 글 참고)

[풀이] $x-5=t$ 로 치환하면

 위 그림에서 $y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{3}{2}x$ 은 변곡접선이다.

 

변곡접선의 $x$ 절편이 $3$ 이므로 $\therefore \; a>3$