틀을 깨는 기발한 수학

x+a 을 포함한 식에서 신속 적분법 일차식 $x+a$를 포함하는 식을 적분할 때, 다항식을 $x+a$로 정리해주면 편리한 경우가 많다. $$\int (x+a)^n dx=\frac{1}{n+1}(x+a)^{n+1}+C$$ 예제로서 보기로 하자. Example 1 $\displaystyle\int (x+1)(x+2)dx$ 을 구하면? [solve] $x+1$을 기준으로 정하면 나머지식을 $x+1$로 정래해 주면 된다. \begin{flalign} &\displaystyle \int (x+1) \left \{ (x+1)+1 \right \} dx \\ &=\displaystyle\int \left \{ (x+1)^{2}+(x+1) \right \} dx \\ &=\frac{1}{3}(x+1)^{3} +\fr..

매개변수로 표시된 함수의 이계도함수 구하기 $$\left\{\begin{matrix} x=f(t)\\ y=g(t) \end{matrix}\right. $$ 일 때 매개변수 미분법에 의해서 $$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$$ 이므로 이계도함수 $$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$$ $$=\frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \times \..

극한의 부정형을 하나로 극한값을 계산할 때 자주 나오는 부정형이 있다. 부정형이란 값을 확정할 수 없는 꼴을 말한다. 대표적인 부정형은 다음과 같다. $$\frac{0}{0}, \; \frac{\infty}{\infty}, \; 0\times \infty, \; \infty-\infty ,\; 1^{\infty}, \; 0^{0}, \; {\infty}^{0}$$ 위의 일곱가지 유형을 모두 $$\frac{0}{0}$$ 꼴로 표현할 수 있다. 1 $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ 꼴 $$\frac{\infty}{\infty}=\frac{\displaystyle\frac{1}{\infty}}{\displaystyle\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}$$ 2 ..

적분 점화식 (1) $I_{n}=\displaystyle\int \sin ^{n} x dx$ \begin{flalign} I_{n}&=\int \sin ^{n} x dx = \int \sin ^{n-1} x\sin x dx = \int \sin ^{n-1} x(-\cos x) dx \\ &=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x \cos^{2} x dx \\ &=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x (1-\sin^{2} x)x dx \\ &=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x dx - (n-1)\int \sin ^{n} x dx \\ &=-\sin^{n-1} x \c..

직선으로 나누어진 두 도형의 넓이의 합의 최소 일대일대응인 함수 $y=f(x)$와 직선 $x=k\;(a

역함수가 존재하는 연속하는 두 함수의 그래프의 교점의 성질 (1) 증가하는 그래프와 그 역함수와 교점 교점이 존재하지 않을 수도 있다. 교점이 존재하면 반드시 그 점은 직선 $y=x$ 위에 있다. (2) 감소하는 그래프와 그 역함수와 교점 교점의 개수는 홀수개인다. 반드시 한 개의 교점은 직선 $y=x$ 위에 있다. 직선 $y=x$위에 있지 않는 점은 직선 $y=-x+k$인 직선 위에 존재한다. 여기서 (1) 직관적으로 쉽게 알 수 있으므로 (2) 사실에 주목해야 한다. (2)번의 증명을 시도하려 했으나 생각보다 복잡한 과정을 피할 수 없어서 생략하기로 했습니다. 상당한 수준의 해석학 지식이 필요합니다. 추후에라도 올려보도록 하겠습니다.

$2$이상의 자연수 $n$에 대하여 다음부등식이 성립함을 증명하여라. $$1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}

급수의 수렴 발산 기억해 두면 좋은 몇 가지 급수를 소개한다. 대학과정이 아닌 고등학교 과정에 설명이 가능한 것만 몇 가지 골라 보았다. 급수의 수렴 발산 결과 보다도 그것을 고교과정만으로 설명하는 데 중점을 두었다. 이러한 급수들은 정오문제에서 많은 활약을 할 수 있다. Example 1 $\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$ [해설] 반드시 알아 두어야 할 최소한의 필수 문제이다. \begin{flalign} &\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots \\ &=\displ..

자연상수 e의 극한값 계산 자연상수 $e$의 정의는 $$ \displaystyle \lim_{ x\to 0}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}}=e $$ 이다. 외울때는 "일영무" 꼴로 기억해 두시면 좋습니다. $$ \displaystyle \lim_{ x\to 0}\left ( 1+f(x) \right )^{g(x)}=e^{\lim\limits_{ x\to 0}f(x)g(x)} $$ 단, $\displaystyle \lim_{ x\to 0}f(x)=0$ 이고 $\displaystyle \lim_{ x\to 0} g(x)=\infty$ 지수,로그의 성질을 이용해서 간단하게 설명할 수 있다. $$ \square^{\triangle } =\left ( e^{\ln\square} \r..

적분의 활용 | 잘린 원기둥의 부피 | 반구에 채운 물의 부피 $$V=\frac{2}{3} r^3 \tan \theta$$ 원기둥을 비스듬히 잘랐을 때 생기는 부분 중 작은 쪽은 부피를 구해보자. 대부분의 교과서와 참고서에서는 단면을 직각삼각형을 만들어서 적분으로 구한다. 단면을 직각삼각형이 아닌 여러 가지 형태로도 부피를 구할 수 있다. 이 번 포스팅에서는 직각 사각형을 만들어서 부피를 구하기로 해보자. [증명] 원기둥의 밑면의 중심을 $O$, 밑면의 지름을 $x$축, $y$축으로 잡는다. $x$축에 수직으로 자른 단면 직사각형 $PQRS$의 넓이를 $S(x)$라 하면 $$ \overline{MN}=\overline{ON}\tan \theta =x \tan \theta, \;\; \overline {P..