벡터 내적을 이용하여 삼각함수 합성
| $$a\cos \theta + b \sin \theta = (a, b) \cdot (\cos \theta, \sin \theta)$$ |
삼각함수의 합성을 벡터의 내적으로 바꾸어 표현할 수 있다.
일반적이 삼각함수의 합성은 이 번 포스팅에서는 다루지 않겠다. 이 블로그의 주제는 "다르게 생각하기"이기 때문이다.
일반적인 삼각함수의 합성보다는 벡터의 내적을 이용하는 방법이 조금 더 직관적이라 할 수 있다. 왜냐면 삼각함수의 합성을 기하학적으로 접근하기 때문이다.
벡터의 내적의 기하학적 의미
점 P 가 어두운 영역에서 움직일 때
$$ \overline{\textrm{OT}}\times \overline{\textrm{OB}}\leq \overrightarrow{\textrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\textrm{OB}} \leq \overline{\textrm{OH}}\times \overline{\textrm{OB}} $$
예제를 보면서 살펴보기로 하자.
| Example 1 |
$0 \leq x \leq \pi$ 일 때 $y=\sqrt{3} \sin x + \cos x $ 의 최댓값, 최솟값을 구하여라. |
[solve] $(\sqrt{3}, 1) \cdot (\cos x, \sin x)$에서 점 $P\ (\cos x, \sin x)$ 는 반지름이 1인 반원 위의 점이다.
$$-|\overrightarrow{ OH } | |\overrightarrow{ OA } | \leq \overrightarrow{ OP } \cdot \overrightarrow{ OA } \leq |\overrightarrow{ OC } | |\overrightarrow{ OA } |$$
$-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2 \leq \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} \leq 1 \times 2$
최솟값은 $-\sqrt{3},$ 최댓값은 $2$ 가 된다.
| Example 2 |
닫힌구간 $\left [\displaystyle\frac{\pi}{6}, \displaystyle\frac{5}{6}\pi \right ]$ 에서 $f(x)=\sqrt{3} \sin x + \cos x +1$ 의 최댓값을 $\textrm{M}$ , 최솟값 $m$ 이라 할 때, $\textrm{M}+m$ 의값을 구하여라. [2012년 6월 평가원] |
[solve] $f(x)=(\cos \theta, \sin \theta) \cdot (1, \sqrt{3})+1$ 이고 점 P는 호CD 위에서 움직인다.
$$0 \leq \overrightarrow{ OP } \cdot \overrightarrow{ OA } \leq |\overrightarrow{ OB } | |\overrightarrow{ OA } |$$
$0 \leq \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} \leq 1 \times 2$
$f(x)= \overrightarrow{ OP } \cdot \overrightarrow{ OA }+1$에서
최솟값 $m=1, $ 최댓값 $\textrm{M}=3$ 이 된다. $\therefore \;\textrm{M}+m=4$
| Example 3 |
| 두 함수 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x+2},$ $g(x)=\sqrt{3} \sin x - \cos x$ 에 대하여 닫힌구간 $\left [0, \pi \right ]$에서 함수 $y=f(g(x))$ 의 최댓값을 구하여라. [2008년 평가원] |
[solve] $g(x)=(\cos \theta, \sin \theta) \cdot (-1, \sqrt{3})$ 이고 점 P는 호CD 위에서 움직인다.
$$-|\overrightarrow{ OH } | |\overrightarrow{ OA } | \leq \overrightarrow{ OP } \cdot \overrightarrow{ OA } \leq |\overrightarrow{ OB } | |\overrightarrow{ OA } |$$
$-\displaystyle\frac{1}{2}\times 2 \leq \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} \leq 1 \times 2$ $ \left (\because \angle \textrm{DOH} =\displaystyle\frac{\pi}{3}\right )$
$g(x)=t$ 로 치환하면
$f(t)=\displaystyle\frac{1}{t+2} \left ( -1 \leq t \leq 2 \right )$ 에서
$t=-1$ 에서 최댓값 $1$ 을 갖는다.