틀을 깨는 기발한 수학

다항함수에서 한 점에서 공통접선과 미분가능 다항식 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 접하면 ( 공통접선을 갖으면 ) $\Rightarrow $ $f(x)-g(x)=(x-a)^2 Q(x)$ [proof] $h(x)=f(x)-g(x)$ 라 하면 $h(a)=0$ 이다. 또 $f'(a)=g'(a)$ 에서 $h'(a)=0$ 이다. 따라서 $h(x)$는 $(x-a)^2$ 을 인수로 갖는다. $h(x)=(x-a)^2 Q(x)$ $\therefore \;\; f(x)-g(x)=(x-a)^2 Q(x)$ 함수 $f(x)$ 가 $x=a$에서 미분가능하면 $f(x)=\left\{\begin{matrix} g(x)&(x\geq a) \\ h(x)& (x

두 함수의 곱의 연속 조건 $x=a$ 에서 $f(x)$ 는 연속이고 $g(x)$ 는 불연속일 때 $f(x)g(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이 되기위해서는 $f(a)=0$이어야 한다. ( 단, $g(a)$ 값은 존재한다. ) ★★★대단히 중요한 내용이다. 수능 및 내신 빈출 내용이므로 반드시 숙지해야 한다. [증명] $x=a$에서 $f(x) g(x)$ 가 연속되기 위해서는 $f(a) g(a)=\displaystyle \lim_{ x\to a } f(x) g(x)$ 가 성립해야 한다. $\displaystyle \lim_{ x\to a+} g(x)=R, $ $\displaystyle \lim_{ x\to a-} g(x)=L,$ $g(a)=C$이라 하면 $f(a)\cdot C=f(a)\cdot R=f(a)\..

미분계수의 기하학적 의미 다항함수 $f(x)$ 에서 $$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ 은 $x^n$의 계수이다. 예를 들어, $f'(0)$ 은 일차항의 계수 $\displaystyle\frac{f''(0)}{2!}$ 은 이차항의 계수이다. [증명] $f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ 라 하면 $f'(x)=na_n x^{n-1}+(n-1)a_{n-1} x^{n-1} + \cdots +2a_2 x + a_1\;\;\; \cdots \cdots ①$ $x=0$ 에 대입하면 $\therefore \;a_1 = f'(0)$ 다시 ①식을 미분하면 $f''(x)=n(n-1)a_n x^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1} x^{..

합성함수의 극한값 구하기 합성함수를 구하는 과정을 심플하게 풀어보자. Example 1 그림은 $y=f(x)$ 의 그래프이다. 합성함수 $f(f(x))$ 에 대하여 각점에서의 연속성을 조사하여라. (1) $x=1$ (2) $x=2$ (3) $x=3$ [solve] (1) $x=1$에서 함숫값, 우 극한값, 좌극한값을 아래 표와 같이 정리한다. (1) 번 $f$ $f$ $f\left ( f(x) \right )$ $1$ $\to$ $-1$ $\to$ $1$ $\displaystyle \lim_{x \to 1+}f\left ( f(x) \right )$ $1+$ $\to$ $-1+$ $\to$ $1$ $\displaystyle \lim_{x \to 1}f\left ( f(x) \right )$ $1-$ $\..

함수식에서 미분계수 신속하게 구하기 고등학교 내신 단골 빈출유형이다. (1) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax }y+b$ $\Rightarrow $ $f'(x)=ax+f'(0)$ (2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax^2 }y+axy^2 +b$ $\Rightarrow $ $f'(x)=ax^2+f'(0)$ ★★★ 즉, $f'(x)=$ ( $y$ 앞의 계수 ) $x+f'(0)$ ★★★ (1) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax }y+b$ $\Rightarrow $ $f'(x)=ax+f'(0)$ [proof] $(\rm{i})$ $x=0,$ $y=0$ 일 때, $f(0+0)=f(0)+f(0)+b$ $\therefore\;\; b=-f(..

$x^n$ 을 포함하는 식의 그래프 와 연속 $f(x)=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{ x^n \rm{를\;\; 포함하는\;\;식}}{x^n\rm {을 \;\;포함하는 \;\;식}} $d의 그래프를 신속하게 그리는 방법 $$ f(x)=\left\{\begin{matrix} x^n \rm{의\; 계수비}& (|x|>1) \\ x^n \to 0 & (|x|1$ 일 때, 계수비 $\displaystyle \frac{x^n+1}{x^n}=x$ $|x|

등비급수로 표현된 함수의 연속 조건 함수 $f(x)$ 를 다음과 같이 정의 할 때, $$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^k}{(1+x^m )^{n}}$$ $(1)\;\; k >m$이면 함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속 $(2)\;\; k \leq m$ 이면 함수 $f(x)$는 $x=0$ 에서 불연속 ( 단, $m$ 은 $2$ 이상의 자연수, $k$ 는 자연수 ) [proof] $(\rm {i})\; x \neq 0$ 이면 $0m$ 이면 함수 $f(x)$ 는 모든 실수 $x$에 대하여 연속이다. Example 1 다음 함수 중에서 실수 전체 집합에 대하여 연속인 함수를 모두 고르면 (가) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\f..

교대급수의 수렴 발산 다음과 같은 꼴(고등수학 내신 빈출 유형)의 교대급수의 수렴 발산을 구하는 강력하고 간단한 방법이다. $$S=A-B+B-C+C-D+D- \cdots $$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}=0$ 이면 급수 $S$는 수렴한다. [증명] 수열 $\left\{ a_n\right\}$ 에서 첫번째 항부터 제 $n$항까지의 합을 $\left\{ S_n\right\}$ 이라 하면 $S_{2n-1}=A-(B-B)-(C-C)-(D-D)- \cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})=A$ $S_{2n}=(A-B)+(B-C)+(C-D)+ \cdot +(a_{2n-1}-a_{2n})=A-a_{2n}$ $\displaystyle \lim_{ n\to \infty..

수열의 극한 | 함수의 극한 계산 팁 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\infty $ 이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(m \cdot a_n + n \cdot b_n )=k$ 이면 $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=-\frac{m}{n}$$ 이 성립한다. 고등학교 내신에서는 내신 단골 빈출 유형이다. 굳이 공식으로는 외울 필요없이 유도 과정만 알아도 충분하다. [증명] $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_{n}=\infty$ 에서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_n}=0$이다. 수렴하는 두 수열의 곱..

수렴 사실을 알고 있는 수열의 극한 계산 팁 예제와 함께 재미로 보기로 하자. Example 1 수열 $a_{n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{n}+3}{a_{n}+1}=1$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$의 값을 구하여라. 풀이 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$ 라 가정하면(수렴 사실을 알 수 없기 때문에 일반적 풀이는 될 수 없다. 객관식 문항에서 정답을 신속하게 구하는 방법이다. 수렴함을 이미 전제로 출제했기 때문에 사용할 수 있는 팁이라 할 수 있다.) $$\frac{2\alpha +3}{\alpha+1}=1, \;\;\; \alpha =-2 $$ ..