틀을 깨는 기발한 수학

이웃하지 않는 두 정수를 뽑는 방법의 수 $r$명의 서로 같은 의자 $n$개에 서로 이웃하지 않게 앉는 방법의 수는 $$_{n-r+1} \textrm{P}_r$$ 조합론적 방법 $r$명이 각각 의자에 앉은 채 나머지 의자 $n-r$개의 양 끝과 의자 사이 $n-r+1$ 빈 곳 중에서 $r$를 선택해주면 된다. $1,2,3,4, \cdots , n$ 중에서 서로 이웃하지 않는 $r$개의 수를 뽑는 방법의 수는 $$_{n-r+1} \textrm{C}_{r}$$ 흰 구슬$n$개에서 노란 구슬 $r$개를 뺀 $n-r$개의 흰 구슬 중에서 양 끝과 구슬 사이의 자리 $n-r+1$ 중에서 노란색 구슬 $r$개가 들어갈 자리슬 선택하면 된다. 예를 들어 서로 이웃하지 않는 수는 $1, 4, 8, 11, \cdots$..

같은 것을 포함하는 원순열의 개수 흰 공$n$개, 검은 공 $m$ 개를 원형으로 배열하는 방법의 수 (1) 비대칭 원순열의 개수 $$\frac{(m+n)!}{m! \,n!}$$ Example 1 흰 공 2개, 검은 공 3개를 원형으로 배열하는 방법의 수를 구하여라. [해설] 비대칭 원순열이므로 $$\frac{5!}{3!\,2!} \times \frac{1}{5}=2$$ (2) 대칭 원순열의 개수 Example 2 흰 공 4개, 검은 공 2 개를 원형으로 배열하는 방법의 수는? [해설] 비대칭인 경우와 대칭인 경우를 나누어서 생각한다. $$\frac{1}{6}\left( \frac{6!}{4!\,2!}-\frac{3!}{2!\,1!} \right) =2$$ $$\frac{1}{3} \times \frac{..

다음 등식이 성립하는 것을 흥미로운 두가지 방법으로 소개한다. $$ _{r}\mathrm{C} _{r}+ _{r+1} \mathit{C} _{r} + _{r+2} \textrm{C} _{r} +\cdots+ _{n+r} \textrm{C} _{r} = _{n+r+1} \textrm{C} _{r} $$ (1) 집합의 부분집합의 개수를 이용한 증명 집합 A=\(\left \{1,2,3,4, \cdots , n+1 \right \} \)에서 r개의 원소를 뽑는 방법의 수는 \( _{n+1} \mathrm{C}_{r} \)이다. 집합 A의 부분집합 중에서 원소의 최솟값이 1인 부분집합의 개수는 \( _{n} \mathrm{C}_{r} \) 원소의 최솟값이 2인 부분집합의 개수는 \( _{n-1} \mathrm{..