틀을 깨는 기발한 수학

로피탈정리 활용 안내서 로피탈정리 미분 가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c} g(x)=0 $ (또는 $\infty$) 이고 $\displaystyle\lim_{x\to c}\displaystyle\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 가 존재하면 $$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$가 성립한다. 로피탈정리의 엄밀한 증명은 고등학교 과정의 수준을 넘어간다. 꼭 못할 정도는 아니지만 현행 교육과정에는 포함되어 있지 않다. 정확하게 말하자면 극한의 시작부터가 고교과정을 넘어가는 내용이다. 그러나 부정형 극한 문제를 다루는 데 있어서 ..

포물선과 타원의 직교 조건 $$b^2 = 2a^2$$ [증명] 포물선 $y^2 =4px$ 와 타원 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$이 제1사분면 위의 점 P에서 만날 때, 점 P의 좌표를 $\left( x_1 , y_1 \right)$ 이라 하면 점 P에서의 포물선의 접선의 방정식은 $$y_1 y = 2p(x+x_1 )$$이고 기울기는 $$\frac{2p}{y_1}$$이다. 또, 점 P에서 타원의 접선의 방정식은 $$\frac{x_1 x}{a^2}+\frac{y_1 y}{b^2}=1$$이고, 기울기는 $$-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$$이다. 교점에 P에서 두 접선이 서로 수직이므로 $$-\frac{b^2 x_1}..

포물선 | 타원 | 쌍곡선 기본적인 길이 관계 (1) 포물선 $$\overline{\textrm{PF}}=2\overline{\textrm{OP}}$$ 포물선의 초점 $\textrm{F} (p, 0)$에서 점 $\textrm{P}$의 $y$좌표를 구하면 $$y^2 = 4p \cdot p = 4p^2$$ $$y=2p\;\; \left(\because \; p>0, \;y>0 \right)$$ $$\overline{\textrm{PF}}=2\overline{\textrm{OP}}$$ (2) 타원 $$\overline{\textrm{OA}}=\overline{\textrm{BF}}$$ 타원의 정의에 의해서 $a^2 - c^2 =b^2$ 이므로 $a^2 = b^2 + c^2$ $$\overline{\textrm..

극한에서 초월함수의 근사 $x \rightarrow 0$ 일 때, $f(x) \rightarrow 0$이면 왼쪽의 함수는 오른쪽 함수로 근사된다. $\sin f(x)$ $\Rightarrow$ $f(x)$ $\tan f(x)$ $\Rightarrow$ $f(x)$ $e^{f(x)}-1$ $\Rightarrow$ $f(x)$ $a^{f(x)}-1$ $\Rightarrow$ $f(x)\ln a$ $\ln \left( 1+ f(x) \right)$ $\Rightarrow$ $f(x)$ $\log _a \left( 1+ f(x) \right)$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\frac{f(x)}{\ln a}$ $1-\cos f(x)$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \fr..

평균값 정리를 이용한 복잡한 합성함수의 극한 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$에서 연속이고 열린구간 $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\alpha$이면 $$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left(h(x)\right)-f\left(g(x)\right)}{h(x)-g(x)}=f'(\alpha)$$ 가 성립한다. 평균값정리 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[\,a,b\,\right]$에서 열린구간 $\left(a,b\right)$에서 미분가능할 ..

신뢰계수를 활용하여 다양한 식 만들기 신뢰계수 $z_p$는 위의 표준정규분포 곡선에서 $$\textrm{P} \left( 0 \leq Z\leq z_p \right)=p$$로 정의한다. $z$ $\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq z\right)$ 0.5 0.1915 1.0 0.3413 1.5 0.4332 2.0 0.4772 2.5 0.4938 예를 들어 위의 표준정규분포표에서 $$z_{0.3413}=Z_{\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq 1\right)}=1$$ $$z_{0.4332}=Z_{\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq 1.5\right)}=1.5$$ $$z_{0.4772}=Z_{\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq 2\right)}..

정규분포를 따라는 확률밀도함수의 함숫값 비교 정규분포 확률밀도 함수는 평균에 대한 대칭이다. 정규분포의 확률밀도함수의 모양은 표준편차에 의해 결정된다. 표준편차가 같은 두 정규분포 확률밀도 함수의 그래프는 평행이동에 의해 일치할 수 있다. 정규분포의 확률밀도함수의 함숫값은 평균에 가까울수록 크고 멀어질수록 작아진다. $$\left | \,m-a \, \right | f(b)$$ 부등호 방향이 반대가 된다. 이를 이용하면 정규분포를 따르는 표준편차가 같은 두 확률밀도함수의 대소를 비교할 수 있다. 즉, 함숫값의 대소 관계 확인하기 위해서는 각각의 평균값과 $x$값 사이의 거리를 비교하면 된다. 확률변수 $X$가 정규분포 $N\left( m_1 , \sigma^2 \right)$ 확률변수 $Y$가 정규분포 ..

정규분포를 따르는 확률변수의 합 모집답의 확률변수 $X$가 정규분포 $N\left( m, \sigma^2 \right)$를 따를 때, 모집단에서 임의 추출한 $n$개의 표본의 합 $S$ $$S\sim \left( nm, n \sigma^2 \right)$$를 따른다. [증명] 정규분포 $X\sim N\left( m, \sigma^2 \right)$를 따르는 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\bar{X\,}$는 정규분포 $N\left( m, \displaystyle\frac{\sigma^2}{n} \right)$를 따른다. $\bar{X}=\displaystyle\frac{X_1 +X_2 + x_3 + \cdots + X_n}{n}$ 에서 $X_1 + X_2 + X_3 + \c..

편미분을 이용한 음함수의 미분법 교과서에 나오는 음함수 미분법과는 약간 다른 방법이다. 익숙해지면 계산 과정을 줄일 수 있다. 음함수 $f(x,y)=0$에서 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x 로\; 미분\; (y는 \;상수 \;취급)}{y로\; 미분\;(x는 \;상수 \;취급)}$$ 편미분 기호를 사용하면 아래와 같다. $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}}$$ 간단한 예를 들어 비교해보자. Example 1 곡선 $x^2 + xy + y^2 =7$ 에서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$을 구하여라. [풀이1] $\di..

이계도함수 미분법 매개변수 미분법을 이용한 이계도 함수 미분법을 소개한다. 먼저 매개변수 미분법은 다음과 같다. $x,\, y$가 $t$에 대한 식일 때, $$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}$$ 이제 $y$를 $x$에 대한 이계도함수를 구해보자. \begin{align} \displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}&=\displaystyle\frac{d}{dx} \left( \displaystyle\frac{dy}{dx} \right) \\ &=\displaystyle\frac{dt}{dx} \cdot \displaystyle\frac{d}{dt} \left( \displaystyle\fr..