극값을 가질 조건

  극값을 가질 조건 

함수 $f(x)$ 가 극값을 갖기 위해서는 도함수 $f'(x)$의 그래프가 $x$ 축을 뚫으면 된다.

$f'(x)$가 $x$ 축을 뚫을 때, 그 점에서  $f(x)$는 극값을 갖는다.

 

$f'(x)=0$을 만족하는 값에서 부호변화 조사 또는 증감표로 이용해서 극값을 조사할 수 있지만 가장 직관적인 방법은  $y=f'(x)$의 그래프가 $x$축을 관통하면 된다.

 

 

 

Example 1

$f'(x)=|x|+k$ 일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $y=f(x)$ 가 극값을 갖기 위한 실수 $k$ 값의 범위는?

[solve] $f'(x)$ 의 최솟값이 음수이면 $x$ 축을 뚫는다. $\therefore \;k<0$

 

 

 

 

 

 

 

Example 2

삼차함수 $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$ 가 극값을 가질 조건은?

[solve] $f'(x)=3ax^2 + bx^2 + cx $가 $x$ 축을 뚫으면 서로 다른 두 실근은 가지므로

         $\therefore \;D/4=b^2 - 3ac>0$

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 3

삼차함수 $f(x)=x^3 - 3x^2 + kx + 1$ 이  $-1<x<2$ 에서 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때 상수 $k$ 의 값의 범위는?

[solve] $f'(x)=3x^2 -6x + k $가  $-1<x<2$ 범위에서 $x$ 축을 두 번 뚫으면 된다.

이차방정식 근의 분리를 이용하면 

(i) $D/4=9-3k>0, $  $k<3$

(ii) $f'(-1)>0$  이고  $f'(2)>0$ 에서 $ k>0$

(iii) $-1<$ 축 $(x=1)<2$     

(i), (ii), (ii) 을 모두 만족시키는 $k$ 값의 범위는 

$\therefore \; 0<k<3$

 

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

Example 4

함수 $f(x)=4 \ln x - \displaystyle\frac{a}{x}-x$ 가 극댓갑과 극솟값을 모두 가질 때, 상수 $a$ 값의 범위를 구하여라.

[solve] $f'(x)=\displaystyle \frac{4}{x}+\frac{a}{x^2}-1=\frac{4x+a-x^2}{x^2}=0 $ 에서

이차방정식 $x^2 -4x -a=0(x>0)$ $x>0$ 범위에서 $x$ 축을 두 번 뚫어야 한다.

(i) $D/4=4+a>0\;\; a?-4 $

(ii) 두 근의 합 $4>0$

(iii) 두 근의 곱 $-a>0,$   $a<0$

    (i)(ii)(iii)에 의해서  $\therefore\; -4<a<0$  

 

 

 

 

 

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Example 5

함수 $f(x)=kx+3\cos x -2$ 이 극값을 갖기 위한 실수 $k$ 값의 범위를 구하여라.

[solve] $f'(x)= k-3\sin x$ 에서  $y=-3\sin x +k$의 그래프가 $x$ 축을 뚫으면 된다.

 최댓값 $\times$ 최솟값 $<0$이면 된다. $(k-3)(k+3)<0$  에서  $\therefore\; -3<a<3$