틀을 깨는 기발한 수학

좌표평면에서 삼각형의 넓이 좌표평면 위의 세 점 $(x_1 , y_1),\;(x_2 , y_2),\;(x_3 , y_4) $으로 이루어진 삼각형의 넓이는 흔히 신발끈 공식을 사용한다. 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $S$라 하면 $$ S=\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 &y_1 \end{vmatrix} $$ 계산은 사선방향으로 곱한 후 반대 방향의 곱을 빼주면 된다. $$S=\frac{1}{2} \left| \;(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1)-(x_2 y_1 + x_3 y_2 + x_1 y_3)\;\right |$$ 신발끈 공식을 유도해 보기로 한다. 점과 직선과의 거리 공식 이용하..

이웃하지 않는 두 정수를 뽑는 방법의 수 $r$명의 서로 같은 의자 $n$개에 서로 이웃하지 않게 앉는 방법의 수는 $$_{n-r+1} \textrm{P}_r$$ 조합론적 방법 $r$명이 각각 의자에 앉은 채 나머지 의자 $n-r$개의 양 끝과 의자 사이 $n-r+1$ 빈 곳 중에서 $r$를 선택해주면 된다. $1,2,3,4, \cdots , n$ 중에서 서로 이웃하지 않는 $r$개의 수를 뽑는 방법의 수는 $$_{n-r+1} \textrm{C}_{r}$$ 흰 구슬$n$개에서 노란 구슬 $r$개를 뺀 $n-r$개의 흰 구슬 중에서 양 끝과 구슬 사이의 자리 $n-r+1$ 중에서 노란색 구슬 $r$개가 들어갈 자리슬 선택하면 된다. 예를 들어 서로 이웃하지 않는 수는 $1, 4, 8, 11, \cdots$..

등비수열의 역수의 합 공식 등비수열 $\left\{a_n\right\}$에서 첫째항부터 제$n$항 까지 합을 $S_n$, 역수의 합을 $T_n$이라 하면 $$\frac{S_n}{a_1}=a_n T_n$$이 성립한다. 등비수열의 역수의 합의 문제는 기본적으로 복잡하다. 기억에해 두면 시간을 효과적으로 줄일 수 있습니다. [증명] \begin{align} \frac{S_n}{a_1}&=\frac{a_1 +a_2 + a_3 +\cdots + a_n}{a_1}\\ &=\frac{a_1 +a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}}{a_1} \\ &=1+r+r^2 + \cdots + r^{n-1} \tag{1} \end{align} \begin{align} a_n T_n &= a_1 r..

주기를 갖는 수열의 귀납적 정의 $a_{n+2}-2(\cos \theta ) a_{n+1}+a_{n}=0$ 이고 $m \theta = 2\pi\; (0< \theta < \pi )$ 이면 수열 $\left\{a_n\right\}$은 $m$ 개의 항이 주기적으로 나타난다. [증명]은 고등학교 과정을 훨씬 뛰어넘기 때문에 생략하기로 한다. 활용에 중점을 두기로 한다. Example 1 수열 $\left\{a_n\right\}$은 $a_1 =9,$ $a_2 = 3$ 이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$$ 을 만족시킨다. $|\,a_k\,|=3$ 을 만족시키는 100이하의 자연수 $k$의 값을 구하시오.[2021년 6월 평가원] [풀이] $a_{n+2}-a_{n+1}+..

평균과 분산의 관계식 $$E \left\{ (X-a)^2 \right\} \geq V(X)$$ (단, 등호는 $a=E(X)$ 일 때 성립) [증명] \begin{align} f(a)&=E \left\{ (X-a)^2 \right\}=E(X^2 -2aX+a^2) \\ &=E(X^2 )-2aE(X)+a^2 \\ &=a^2 -2aE(X)+\left\{E(X)\right\}^2 +E\left(X^2 \right) -\left\{E(X)\right\}^2 \\ &=\left\{a-E(X)\right\}^2 + V(X) \end{align} 함수 $f(a)$는 $a=E(X)$일 때, 최솟값 $V(x)$ 를 갖는다. Example 1 한 개의 동전을 3회 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 $X$라 하자. $E\left..

이항분포에서 $E(a^x)$ 구하기 $X$ 가 이항분포 $B(n,\,p)$ 를 따를 때, $$E(a^X )=(ap+q)^n \; (p+q=1)$$ [증명] \begin{align} E(a^X )&=\sum_{r=0}^n a^r \,_n C_r p^r q^{n-r} \\ &=\sum_{r=0}^n \,_n C_r (ap)^r q^{n-r} \\ &=(ap+q)^n \end{align} Example 1 사건 A가 1회 시행에서 일어날 확률을 $p$일 때, $n$ 회 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수가 $X$ 라 하자. 확률변수 $X$ 의 평균이 80이고 분산이 64 일 때, $\displaystyle\sum_{r=0}^n 5^r \cdot\textrm{P} (X=r)$ 의 값은? ( 단,$ \textr..

같은 것을 포함하는 원순열의 개수 흰 공$n$개, 검은 공 $m$ 개를 원형으로 배열하는 방법의 수 (1) 비대칭 원순열의 개수 $$\frac{(m+n)!}{m! \,n!}$$ Example 1 흰 공 2개, 검은 공 3개를 원형으로 배열하는 방법의 수를 구하여라. [해설] 비대칭 원순열이므로 $$\frac{5!}{3!\,2!} \times \frac{1}{5}=2$$ (2) 대칭 원순열의 개수 Example 2 흰 공 4개, 검은 공 2 개를 원형으로 배열하는 방법의 수는? [해설] 비대칭인 경우와 대칭인 경우를 나누어서 생각한다. $$\frac{1}{6}\left( \frac{6!}{4!\,2!}-\frac{3!}{2!\,1!} \right) =2$$ $$\frac{1}{3} \times \frac{..

이차곡선의 접선과 등비중항 (1) 타원 $$a^2 = pq$$ $p, a, q$ 는 등비수열을 이룬다. [증명] 점 P의 $x$ 좌표를 $p$, 꼭짓점 A의 $x$ 좌표를 $a$라 하면 점 B의 $x$ 좌표 $q$ 는 점 P에서의 접선의 $x$ 절편이다. 점 P$(p, s)\;(p\neq 0)$에서의 접선의 방정식은 $$\frac{px}{a^2}+\frac{sy}{b^2}=1$$에서 점 B의 $x$ 좌표는 $\displaystyle\frac{a^2}{p}$ 이다. $$\overline{\textrm {OH}} \times \overline{\textrm{OB}}=p \times \frac{a^2}{p}=a^2 = \overline{\textrm{OA}}^2$$ $$\overline{\textrm{OA}}..

이차곡선 위의 점 $(x_1 , \;y_1)$ 에서의 접선의 방정식 원 위의 점에서 접선의 방정식 원 $ (x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2 $ 위의 점 $(x_1 , y_1)$에서의 접선의 방정식은 $(x-a)^2 -(x-x_1 )^2 +$ $(y-b)^2 -(y-y_1)^2 = r^2$ 이다. 원 $x^2 +y^2 + ax +by + c =0$ 위의 점 $(x_1 , y_1 )$에서의 접선의 방정식은 $x^2+y^2 + ax+by+c $ $-(x-x_1)^2 - (y-y_1 )^2 =0$ 이다. 포물선 위의 점에서 접선의 방정식 포물선 $(y-a)^2 = 4p(x-b) $ 위의 점 $(x_1 , y_1)$에서의 접선의 방정식은 $(y-a)^2 - (y-y_1)^2 = 4p(x-b)$ 이다. 포물..

삼가함수 한 방 개념 정리 https://youtu.be/2NNaTSILJT8 - YouTube www.youtube.com (PC로 보시는 것을 권장합니다. 모바일로 볼 때는 보이지 않는 부분을 좌우로 밀어 주시면 됩니다.) 1. 삼각함수의 정의 $x$축 양의 부분을 시초선, 동경 OP가 나타내는 일반각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, 동경 OP와 반지름의 길이가 $r$인 원의 교점을 $\textrm{OP} (x, y)$ 라 하면 $$\sin \theta = \frac{y}{r}\;\;\;\cos \theta = \frac{x}{r}\;\;\;\tan \theta = \frac{y}{x}$$라 정의한다. 앞서서도 자주 언급하지만 정의는 무조건 정확하게 받아들여야 한다. 약속의 출발이다. 명심하라...