그래프개형 (다항함수)X(지수함수)

  다항함수 $\times e^x$ 그래프 개형 분석  

$(ax^2 +bx + c)e^x$ 는 고득점 킬러 문항에서 자주 출제된다.

반드시 그래프 개형을 알고있어야 한다.

그래프 개형을 알고 있으면 극대, 극소, 최대, 최소, 변곡점 존재유무까지 예상할 수 있는 강력한 정보를 제공한다.

1. 그래프가 올라가는 방향(머리방향)(다항함수 최고차항이 결정)
2. 점근선 $y$ 축 위치 (꼬리방향 위 or 아래) 
3.  $x$ 축 과 교점의  개수(관통 또는 접하고 튕기는지 또는 접하고 뚫은지 파악) 

 

  $y=(ax^n + \cdots+)\times e^x (a>0)$  $\Rightarrow $  우상향(↗)

머리방향 결정   $\Rightarrow $  $x$축과 교점(근) 확인     $\Rightarrow $ 꼬리방향(점근선) 결정

 

(1) $y=(x-a)e^x$ 

(2) $y=(x-a)(x-b)e^x$ 

(3) $y=(x-a)^2 e^x$ 

(4) $y=(x-a)(x-b)^2 e^x$ 

(5) $y=(x-a)(x-b)(x-c) e^x$ 

$(x-a)$ 인수를 포함하면 $x$ 축을 통과한다.

$(x-a)^3 $ 인수를 포함하면 $x$ 축과 접하면서 통과한다.

$(x-a)^{2n} $ 인수를 포함하면 $x$ 축과 접하면서 튕긴다.

 

 

나만의 수학 비법

 

 

  $y=(ax^n + \cdots+)\times e^{-x} (a>0)$  $\Rightarrow $  우상점근선(↘) 

 

(1) $y=(x-a)e^{-x}$ 

 

(2) $y=(x-a)(x-b)e^{-x}$ 

 

(3) $y=(x-a)^2 e^{-x}$

 

 

Example 1

방정식 $e^x = kx$가 서로 다른 두 실근을 가질 때 $k$ 값의 범위는?

[풀이] $e^x =kx,$  $xe^{-x}=\displaystyle\frac{1}{k}$에서

$y=\displaystyle\frac{1}{k}$ 와 $y=xe^{-x}$의 그래프의 교점을 조사하면 된다.

$y'=e^{-x}(1-x)=0$에서 $x=1$에서 극댓값 $\displaystyle\frac{1}{e}$을 갖는다.

(개형을 알고 있기 때문에 극대 극소 판정할 필요가 없다.)

$0<\displaystyle\frac{1}{k}<\displaystyle\frac{1}{e}$ 에서 $\therefore \; k>e $

 

 

 

 

 

728x90

 

 

 

 

Example 2

함수 $f(x)=x^n e^{-x}$ 에 대한 설명중 옳은 것을 모두 고르면?(단, $n$ 은 자연수) (가)  $n$ 이 짝수일 때, $f(x)$ 는 최솟값은 $0$ 이다. (나)  $n$ 이 짝수일 때, $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극솟값을 갖고  $x=n$ 에서 극댓값을 갖는다. (나)  $n$ 이 홀수일 때, $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값을 갖고  $x=n$ 에서 극솟값을 갖는다.

[풀이] $n$ 이 짝수인 경우 $f(x)$ 의 그래프는 다음과 같다.

    (가)는 자명하다. (참)

    (나) $f'(x)=x^{n-1}(n-x)e^{-x}=0$ 에서 $x=n$ 에서 극댓값을 갖는다. (참)

 

    $n$ 이 짝수인 경우 $f(x)$ 의 그래프는 다음과 같다.

 

   (다) $f(x)$ 는 극솟값을 갖지 않고 $x=n$ 에서 극댓값을 갖는다.(거짓)