틀을 깨는 기발한 수학

삼차함수의 변곡점을 지나가는 직선으로 나누어진 두 도형의 넓이는 같다. 삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이므로 A=B의 넓이는 같다. [증명] 변곡점을 원점인 삼차함수로 보여도 일반성을 잃지 않으므로 $f(x)=ax^3 + bx$ 라 하고 변곡점인 원점을 지난가는 직선을 $y=mx$ 라 하자. 함수 $y=f(x)$ 와 직선 $y=mx$ 가 만나는 교점의 $x$ 좌표를 $0, \pm \alpha$ 라 할 때, $\displaystyle\int_{-\alpha }^{\alpha }(ax^3 +bx -mx)dx=0$이 됨을 알 수 있다. 따라서 변곡점을 지나는 직선에 의해 나뉜 두 도형의 넓이는 같다. 또한, $x_1 , \; x_2 , \; x_3$ 는 등차수열을 이룬다. 즉, 두 선분의 길이가 같다. Exam..

정적분의 활용 | 넓이 $m,\;n$이 $0$ 이상의 정수일 때 $$ I(m,n)=\int_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )^m (x-\beta )^n dx$$ 이라하면 $$I(m,n)=\displaystyle -\frac{n}{m+1}I(m+1, n-1)$$ 가 성립한다. [proof] \begin{flalign} I(m,n)&=\int_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )^m (x-\beta )^n dx \\ &=\int_{\alpha }^{\beta }\left\{ \frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1} \right\}' (x-\beta )^n dx \\ &=\left [ \frac{(x-\alpha )^{m+1}}{m+1} (x-\beta )^n ..

역삼각함수를 이용한 삼각치환 적분 $$\int_{x_1}^{x_2}\frac{1}{a^2 +x^2}dx=\frac{1}{a}\left ( \tan ^{-1} \frac{x_2}{a}-\tan ^{-1}\frac{x_1}{a} \right )$$ [증명] $x=\tan \theta$ 로 치환하면 $dx=\sec ^{2} \theta d \theta$ $x_{1}=\tan\theta_{1}$, $x_{2}=\tan\theta_{2}$ 에서 $\theta_{1}=\tan^{-1} x_{1}$, $\theta_{2}=\tan^{-1} x_{2}$ 이므로 \begin{flalign} & \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{1}{a^2 +x^2}dx=\int_{\theta_1}^{\the..

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f\left ( a+\frac{b}{n}k \right )\frac{c}{n} $$ $n\to 1$ 로 $k\to x$로 바꾸어 주고 $\displaystyle\int_{0}^{1}$과 $dx$로 닫아주면 된다. 간단하게 급수를 정적분 이용해서 구하는 TIP입니다. 가볍게 보시면 됩니다.주의할 점은 정적분으로 값이 존재하는 유형에서만 적용할 수 있습니다. 일반적으로 성립하는 내용은 아닙니다. 고등학교 과정에서 나오는 대부분 문제에서는 대부분 적용할 수 있습니다. 즉, 재미로 보시면 되겠습니다. 하지만 꽤나 강력합니다. Example 1 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}..

■ $\sin ^{n} x,\;\; \cos^{n} x $의 적분 점화식 | Wallis 정리 부분적분을 사용하면 된다. \begin{align} I_{n}&= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}x dx\\ &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-1} \sin x dx \\ &=\left [ -\cos x \sin ^{n-1} x \right ]_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \\ &\;\;\;\;+(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n-2} x \cos^{2} x dx \\ &=(n-1)\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2..

■ 정적분의 대칭성 $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$ [증명] (1) 치환적분을 이용 $t=a+b-x$로 치환하면 $dt=-dx$에서 \begin{align} \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx&=\int_{b}^{a}f(t)(-dx) \\ &=\int_{a}^{b}f(t)dt \end{align} (2) 대칭성 이용 그림에서 $y=f(x)$ 그래프와 $y=f(a+b-x)$ 그래프는 직선 $x=\displaystyle\frac{a+b}{2}$에 대칭이므로 $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$가 성립함을 알 수 있다. $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \left ..

x+a 을 포함한 식에서 신속 적분법 일차식 $x+a$를 포함하는 식을 적분할 때, 다항식을 $x+a$로 정리해주면 편리한 경우가 많다. $$\int (x+a)^n dx=\frac{1}{n+1}(x+a)^{n+1}+C$$ 예제로서 보기로 하자. Example 1 $\displaystyle\int (x+1)(x+2)dx$ 을 구하면? [solve] $x+1$을 기준으로 정하면 나머지식을 $x+1$로 정래해 주면 된다. \begin{flalign} &\displaystyle \int (x+1) \left \{ (x+1)+1 \right \} dx \\ &=\displaystyle\int \left \{ (x+1)^{2}+(x+1) \right \} dx \\ &=\frac{1}{3}(x+1)^{3} +\fr..

적분 점화식 (1) $I_{n}=\displaystyle\int \sin ^{n} x dx$ \begin{flalign} I_{n}&=\int \sin ^{n} x dx = \int \sin ^{n-1} x\sin x dx = \int \sin ^{n-1} x(-\cos x) dx \\ &=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x \cos^{2} x dx \\ &=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x (1-\sin^{2} x)x dx \\ &=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x dx - (n-1)\int \sin ^{n} x dx \\ &=-\sin^{n-1} x \c..

직선으로 나누어진 두 도형의 넓이의 합의 최소 일대일대응인 함수 $y=f(x)$와 직선 $x=k\;(a

$2$이상의 자연수 $n$에 대하여 다음부등식이 성립함을 증명하여라. $$1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}