최대 시야각 문제

  최대 시야 문제

$\overline{\textrm{BC}}=a,$  $\overline{\textrm{BD}}=b, $ $\overline{\textrm{AB}}=x$ 인 직각삼각형 ABC에서  $\angle \textrm{CAD} =\theta$ 라 할 때,

 

$\theta$ 의 최대일 때,  $x$의 길이는  $\sqrt{ab}$ 이다.

그 때의 $\tan \theta = \displaystyle \frac{a-b}{2 \sqrt{ab}}$ (단, $a>b$ )

 

[증명] $\angle \textrm{BAC} =\alpha ,$  $ \angle \textrm{BAD} =\beta $ 라 하면

 

\begin{align}

\tan \theta &= \tan (\alpha - \beta)=\displaystyle\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+ \tan \alpha \tan \beta} \\

&=\frac{\displaystyle\frac{a}{x}-\displaystyle\frac{b}{x}}{1+\displaystyle\frac{a}{x} \cdot \displaystyle\frac{b}{x}} =\frac{a-b}{x+\displaystyle\frac{ab}{x}}  

\end{align}

산술평균과 기하평균 관계에 의해서

$x+\displaystyle\frac{ab}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \displaystyle\frac{ab}{x}}=2 \sqrt{ab}$ 에서

따라서 최대각 $\theta$ 는   $ \tan \theta \leq \displaystyle\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$ 가  되고

등호는  $x=\displaystyle\frac{ab}{x}$ 일 때  성립하므로

$$\therefore \;\ x=\sqrt{ab}$$

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

Example 1

높이가 $8m$ 인 건물 위에 높이가 $10m$인 광고판이 설치되어 있다. $\angle \textrm{APB}=\theta$ 라 할 때,  시야각 $\theta$가 최대가 되는 $\textrm {P}$ 와 건물까지의 거리 $x$는?

[solve] $x=\sqrt{18 \times 8}=12$