극값을 갖을 조건

  도함수가 $x$ 축을 뚫지다.

함수  $y=f(x)$ 가

1. 증가함수  또는 감소함수
2. 일대일대응
3. 역함수가 존재한다.
4. 극값을 갖지 않는다.
5. $f'(x)\geq 0$  또는 $f'(x) \leq 0$

   다 필요없다.

 

도함수 $f'(x)$ 가   $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

이게 핵심이다.

 

반대로 뚫으면 $f(x)$ 는 극값을 갖는다.

 

 

 

Example 1

함수 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 3ax$ 가 실수 전체의 집합에서 증가함수가 되도록 하는 실수 $a$ 값의 범위를 구하여라.

 $x_1 < x_2 $  $\Rightarrow $  $f(x_1 )< f(x_2 ) $ 만족하면 증가함수이다.

[풀이] $f'(x)=x^2 -2ax + 3a$ 에서 $y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 되므로

         $D/4 =a^2 - 3a \leq 0$   $\therefore 0\leq a \leq 3$ 

 

 

 

Example 2

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=x^3 + 2ax^2 +ax$ 가 일대일 대응이 되도록하는 실수 $a$ 의  값의  범위는?

[풀이] $f'(x)=3x^2 +4ax + a$ 에서 $y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

         $D/4 =4a^2 - 3a \leq 0$   $\therefore 0\leq a \leq \displaystyle\frac{3}{4}$ 

 

 

 

 

 

Example 3

함수 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{3} x^3 + ax^2 + (5a-4)x+2$ 가 역함수가 존재하기 위한   $a$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=x^2 +2ax + 5a-4$ 에서 $y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

         $D/4 =a^2 - 5a+4 \leq 0$   $\therefore 1\leq a \leq 4$ 

 

 

 

 

 

 

Example 4

삼차함수 $f(x)=x^3 + (a-1)x^2 + (a-1)x + 1$ 가 극값을 가지지 않을 때, $a$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=3x^2 +2(a-1)x + a-1$ 에서 $y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

         $D/4 =(a-1)^2 - 3(a-1)\leq 0$   $\therefore 1\leq a \leq 4$ 

 

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

 

Example 5

함수  $f(x)=ax + \ln(x^2 + 1)$ 가 모든 실수에서 증가함수일 때, $a$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=a+\displaystyle\frac{2x}{x^2 +1} = \frac{ax^2 + 2x +a}{x^2 + 1} \geq 0$ 에서

$y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

$x^2 +1 >0$ 에서 $ax^2 + 2x + a \geq 0$ 이면 된다.

         $a>0$  이고  $D/4 =1-a^2 \leq 0$   $\therefore a \geq 1$ 

 

 

 

 

 

 

Example 6

$f(x)=3\sin x + ax$ 가 극값을 갖지 않을 때, 실수 $a$ 의 값의 범위를 구하여라.

[풀이] $f'(x)=3\cos x +a$ 에서$y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

$-3+a \leq 3\cos x +a \leq 3+a$ 에서

최솟값 $-3+a \geq 0$  또는 최댓값  $3+a \leq 0$ 이면 $x$ 축을 뚫지 못한다.

$\therefore a \geq -3$ 또는  $a \geq 3$ 

 

 

 

 

 

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Example 7

함수 $f(x)=(x^2 + 2ax + 5)e^x $ 가 일대일 대응이 될 때, 상수 $a$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=\left (x^2 + 2(a+1)x+2a+5 \right )e^x $ 에서$y=f'(x)$ 가 $x$ 축을 뚫지 않으면 된다.

$e^x >0$ 이므로 $ x^2+2(a+1)x +2a+5  \geq 0$   $x$ 축을 뚫지 못한다.

$D/4 =(a+1)^2 -2a-5 \leq 0,\;\;a^2 \leq 4$

$\therefore  -2 \leq a \leq 2$ 

 

 

 

 

 

 

 

 

Example 8

함수 $f(x)=-2\ln x + \displaystyle\frac{a}{x}+x+2$ 가 역함수가 존재할 때, 상수 $a$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=-\displaystyle\frac{2}{x}-\frac{a}{x^2}+1=\frac{-2x-a+x^2}{x^2}\geq 0$ 에서

$x^2 >0$이므로  $ x^2 - 2x -a  \geq 0$   $x$ 축을 뚫지 못한다.

$a \leq x^2 - 2x$에서 $y=x^2 -2x \;(x>0)$ 의 그래프가  $y=a$ 보다 위에 있으면 된다.

   $\therefore \;a \leq -1$