틀을 깨는 기발한 수학

삼차함수는 변곡점에 대한 점대칭함수이다. 변곡점이란 함수 \(f(x)\) 위의 한 점에서 좌우 오목과 볼록이 바뀌는 점이다. 또 이계도 함수 \( f''(x) \)의 부호가 바뀐다, 삼참함수는 변곡점을 갖는 최소의 다항함수이다. 삼차함수의 변곡점의 주요성질 1. 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 변곡점의 좌표를 \( (m, n) \)라 할 때 \( f(m-x)+f(m+x)=2n \)를 만족한다. 2. 변곡점에서 접선의 기울기는 최대 또는 최소이다. 3. 극댓점과 극솟점의 중점은 변곡점이다. 4. 변곡점이 \( (m, n) \)인 삼차함수는 \( f(x)= a(x-m)^3 +b(x-m)+n \)이다. 5. 변곡점을 지나는 직선과 평행한 두 직선과 만나는 \( x, y \)좌표는 등차수열을 이룬다.[그림참조..

역함수의 적분은 고교과정에서 까다롭다. 무엇보다 문자가 서로 바뀌는 과정에서 오는 혼란때문이다. 역함수의 적분은 고등학교 과정만으로는 해결할 수가 없다. 그래서 보통 역함수 적분문제는 그림을 이용해야 하는 경우가 많다. 이 글에서는 역함수 적분에 대한 많은 아이디어를 제공한다. 먼저 가장 고전적인 문제부터 보기로 하자. 예제1 함수 \( f(x) \) 와 그 역함수 \( g(x) \)에 대한 그래프이다. \( \int_{0}^{1} f(x)dx+ \int_{1}^{4} g(x)dx \) 의 값을 구하여라. [해설] 일반적인 풀이는 대칭성을 이용한다. \( \int_{0}^{1} f(x)dx =A \), \( \int_{1}^{4} g(x)dx =B \)라 하면 두 함수 \( f(x) \) 와 \( g(x..

정\(n \)각형 ( \(n\)은 짝수)에서 (1) 직각 삼각형의 개수 \(n=2k \) \( \left(k \geq2 \right) \) 라 하자. \(2k \)개의 꼭짓점 중에서 하나의 점을 선택해준다. \( \Rightarrow \) \(2k \) 가지 \( \cdots \cdots (a) \) [그림1]에서는 \( A_{1} \)을 선택했다고 하자.) 점 \( A_{1} \)을 기준으로 반시계 방향을 \( x \) 칸 떨어진 위치에 한 점을 잡아주고 다시 그 점에서 \( y \) 칸 떨어진 위치에 나머지 한 점을 잡아준다. *한 방향으로만 식을 세워야지 직각삼각형이 중복되지 않는다. \( x+y=k\) \( \left(x \geq1, y \geq1 \right) \) \( _{2} \rm H \)..

(1) \( n=2k \) \( \left( k \geq3\right) \) 일 때, 원의 둘레를 \(2k\)등분한 점을 차례로 \(A_1 , A_2 , \cdots , A_{2k} \)이라 할 때, 점 \(A_1 \)을 포함하는 둔각삼각형을 생각해보자. [그림1]에서 점선을 기준으로 같은 방향에서 서로 다른 세 점을 선택해야 둔각삼각형이 만들어 진다. 즉, \(A_1 \)을 제외하고 나머지 \(k-1\)개의 점중에서 2개를 선택하는 방법과 같다. (i) \(A_1 \)을 선택하는 방법의 수 \( \Rightarrow \) \(2k\)가지 (ii) \(A_1 \)을 포함하는 반원에서 \(A_1 \)을 제외한 \(k-1\)개의 점에서 두 점을 선택하는 방법의 수 \( \Rightarrow \) \( _{k..

정 \(n\) 각형에서 직각삼각형의 개수를 구해보자. 단, \(n=2k\)이다. 원의 둘레를 \(n\)등분한 점을 차례로 \( A_1 , A_2 , A_3 , \cdots , A_{2k} \)이라 할 때, 지름에 대한 원주각은 직각이므로 \(n=2k\) 개의 꼭짓점에서 두 점을 선택하여 길이가 지름인 선분의 개수는 \(k\)개다. 또, 지름 양쪽 두 점을 제외하고 나머지 한 점을 선택하는 방법의 수는 \(n=2k-2\) 이다. 따라서 직각삼각형의 개수는 $$ \therefore k \times \left(2k-2 \right) $$이다. 틀깨기수학강의 | 틀깨기 유튜브 | 틀깨기 네이버 블로그 | 개인지도 문의 (서울/경기)

부분분수는 현행고교과정에서 항등식을 이용하거나 두 항의 차로서 표현한다. 여기서는 약간 독특한 방법으로 부분분수를 변형하는 방법을 소개한다. 좌변의 식을 우변으로 변형하기 위해서 \( c_k \)를 구하는 초점을 맞춰보면 $$ \frac{1}{(x-a_1 )(x-a_2 ) \times \cdots \times(x-a_k )\times\cdots \times(x-a_n ) } $$ $$ =\frac{c_1}{(x-a_1 ) }+ \frac{c_2}{(x-a_2 ) }+\cdots +\frac{c_k}{(x-a_k ) }+\cdots+\frac{c_n}{(x-a_n ) } $$ 양변에 \( (x-a_k ) \)를 곱해준다. $$ \frac{1}{(x-a_1 )(x-a_2 ) \times \cdots \tim..

부등식 \( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n \) 을 만족하는 음아닌 정수해의 개수는 $$ \ _{k+1} \mathrm {H} _{n} $$ 착안점은 부등식을 방정식으로 변형해주면 된다. $$ \ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ,\cdots, + x_{k} + x_{k+1} = n $$ $$ \therefore \ _{k+1} \mathrm {H} _{n} $$ (1) \( \ x_{1} + x_{2} + x_{3} +, \cdots, + x_{k} < n \) 을 만족하는 음아닌 정수해의 개수는 \( \ x_{1} + x_{2} + x_{4} + ,\cdots, + x_{k} \leq n-1 \) 로 변형한 다음 마찬가지 방법으로 ..

다음과 같은 등식이 성립합을 식이 아닌 조합론적(스토리해석적)으로 해석해보기 하자. \( _{n} \mathrm{C} _{0} \) + \( _{n+1} \mathrm{C} _{1} \) + \( _{n+2} \mathrm{C} _{2} \) + \( \cdots \) + \( _{n+r} \mathrm{C} _{r} \) = \( _{n+r+1} \mathrm{C} _{r} \) 우선, 우변의 \( _{n+r+1} \mathrm{C} _{r} \)은 집합 A=\( \left \{ 1, 2, 3, 4, \cdots , n+r+1 \right \}\)의 부분집합 중에서 원소의 개수가 \( \mathit {r}\)인 부분집합의 개수이다. 한편, 원소의 개수가 \( \mathit {r}\)인 집합 A의 부분집..

다음 등식이 성립하는 것을 흥미로운 두가지 방법으로 소개한다. $$ _{r}\mathrm{C} _{r}+ _{r+1} \mathit{C} _{r} + _{r+2} \textrm{C} _{r} +\cdots+ _{n+r} \textrm{C} _{r} = _{n+r+1} \textrm{C} _{r} $$ (1) 집합의 부분집합의 개수를 이용한 증명 집합 A=\(\left \{1,2,3,4, \cdots , n+1 \right \} \)에서 r개의 원소를 뽑는 방법의 수는 \( _{n+1} \mathrm{C}_{r} \)이다. 집합 A의 부분집합 중에서 원소의 최솟값이 1인 부분집합의 개수는 \( _{n} \mathrm{C}_{r} \) 원소의 최솟값이 2인 부분집합의 개수는 \( _{n-1} \mathrm{..

[증명] [응용] 좌표평면 위의 세 꼭짓점의 좌표가 모두 정수인 정삼각형은 존재하지 않음을 증명하라 [증명]