틀을 깨는 기발한 수학

이전 포스팅에서 등차수열 $\left\{ a_{n}\right\}$에서 일반항 $a_{n}$은 $$ a_{l}=p, \; a_{m}=q \Rightarrow a_{n}=\frac{p-q}{l-m}(x-l)+p$$ 와 같이 구할 수 있다. 이것을 활용하면 삼차다항식을 구할 수 있다. 삼차항의 계수가 $a$인 함수$f(x)$ 가 $f(\alpha)=p, f(\beta)=q$ 이면 $$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(ax+b) + \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta - \alpha}(x-\alpha)+f(\alpha)$$ [증명] $f(x)$는 삼차식이고 $f(\alpha)=p$, $f(\beta)=q$을 만족하므로 자명하다. Example 1 최고차항의 계수가 1인 삼차함수..

이차함수와 $x$축과 둘러싸인 영역의 넓이 공식은 $$ \frac{\left|a \right|}{6}\left ( \beta -\alpha \right )^{3} $$ 이다. 필수 공식이다. [증명] $$ - \int_{\alpha }^{\beta } ( x -\alpha)( x-\beta)dx $$ 의 값이 $x$축과 둘러싸인 영역의 넓이가 된다. 여기서 적분을 간편하게 할 수 있는 방법은 평행이동을 이용하는 것이다. || 적분의 평행이동 $$ \int_{\alpha }^{\beta } f(x)dx= \int_{\alpha+m }^{\beta+m } f(x-m)dx $$ $$ - \int_{\alpha }^{\beta } a( x -\alpha)( x-\beta)dx $$ $$ =- \int_{\alp..

다항함수 \( f(x) \)의 극점을 지나는 곡선의 식을 구해보자. 다항식 \( f(x) \)를 \(f'(x)\)로 나눈 나머지를 \( g(x)\)라 할 때, \( g(x)\)는 \(f(x)\)의 극점을 지나는 곡선이다. [증명] 함수 \(f(x)\)에서 \(f'(\alpha)=0, f(\alpha)=\beta\)라 하자. 단, 다항함수 \(f(x)\)는 \(x=\alpha\)에서 극점 \( \beta\)를 갖는다. 다항식 \(f(x)\)를 \(f'(x)\)로 나눌 때 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(g(x)\)라 하면 \(f(x)=f'(x)Q(x)+g(x) \)로 나타낼 수 있다. \(g(x)= f(x)-f'(x)Q(x)\)에서 \(g(\alpha)=f(\alpha)-f'(\alpha)Q(\alph..

삼차함수는 변곡점에 대한 점대칭함수이다. 변곡점이란 함수 \(f(x)\) 위의 한 점에서 좌우 오목과 볼록이 바뀌는 점이다. 또 이계도 함수 \( f''(x) \)의 부호가 바뀐다, 삼참함수는 변곡점을 갖는 최소의 다항함수이다. 삼차함수의 변곡점의 주요성질 1. 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 변곡점의 좌표를 \( (m, n) \)라 할 때 \( f(m-x)+f(m+x)=2n \)를 만족한다. 2. 변곡점에서 접선의 기울기는 최대 또는 최소이다. 3. 극댓점과 극솟점의 중점은 변곡점이다. 4. 변곡점이 \( (m, n) \)인 삼차함수는 \( f(x)= a(x-m)^3 +b(x-m)+n \)이다. 5. 변곡점을 지나는 직선과 평행한 두 직선과 만나는 \( x, y \)좌표는 등차수열을 이룬다.[그림참조..