변곡점을 갖기 위한 조건

   변곡점을 갖기 위한 그래프적 해석

 

함수 $f(x)$가 변곡점을 갖기 위해서는 $y=f''(x)$의 그래프가 $x$ 축을 뚫어야 한다.

증감표 보다 훨씬 심플하고 직관적이고 강력하다.

 

 

Example 1

$f(x)=e^x +kx^2$ 가 변곡점을 갖지 않을 때, 실수 $k$ 값의 범위를 구하여라.

[풀이] $f''(x)=e^x + 2kx$ 가 $x$ 축을 뚫으면 안되므로

$f''(x)$의 최솟값인 $2k$ 가 양수이면 된다. $2k>0$  $\therefore\; k\geq 0$

 

 

 

 

 

Example 2

함수 $f(x)=-3 \cos x + \displaystyle\frac{1}{2}ax^2 + 1$ 이 변곡점을 가질 때, 실수 $a$ 의 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=3 \sin x + ax,$  $f''(x)=3\cos x +a$ 가 $x$ 축을 뚫어야 한다.

$f''(x)$의 최솟값 $(-3+a),$  최댓값 $(3+a)$ 에서

$(-3+a)(3+a)<0$   $\therefore\; -3 \leq a \leq 3$

 

 

 

 

 

 

 

Example 3

함수 $f(x)=(x^2 + k)e^x$ 가 변곡점을 가질 때, 실수 $k$ 의 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=(x^2 +2x+k)e^x ,$  $f''(x)=(x^2 +4x+k+2)e^x =0$ 에서

$e^x >0$ 이므로 함수 $x^2 + 4x +k+2$ 가 $x$ 축을 뚫어야 한다.

$D/4=4-(k+2)>0  $ $ \therefore \; k<2$

 

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

 

Example 4

함수 $f(x)=(x+k)\ln x - \displaystyle\frac{1}{2}x^2 - x +3$ 이 서로 다른 두 개의 변곡점을 갖기 위한 $k$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=\ln x +(x+k)\cdot \displaystyle\frac{k}{x}-x-1$

       $=\ln x + \displaystyle\frac{k}{x}-x$

   $f''(x)=\displaystyle\frac{1}{x} -\frac{k}{x^2}-1$에서 $x^2 >0$이므로

 함수$x-k-x^2(x>0)$ 가 $x$ 축을 두 번 뚫어야 한다.

$D/4=1-4k>0$  $k< \displaystyle\frac{1}{4}$   $\therefore \; 0<k<\displaystyle\frac{1}{4}$

 

 

 

 

 

 

Example 5

$f(x)=\sin x +kx^2 + 1$ 가 변곡점을 갖지 않을 때, 실수 $k$ 값의 범위는?

[풀이] $f'(x)=3 \cos x + 2kx,$  $f''(x)=-\sin x +2k$ 가 $x$ 축을 뚫으면 안된다.

$f''(x)$의 최솟값 $(-1+2k),$  최댓값 $(1+2k)$ 에서

$(1+2k)(-1+2k)\geq0$   $\therefore\; k\leq -\displaystyle\frac{1}{2}$ 또는 $k \geq \displaystyle\frac{1}{2}$