틀을 깨는 기발한 수학

포물선의 초점을 지나가는 직선의 성질 포물선의 접선의 다이아몬드 포물선의 접선의 기하학적 성질을 설명하는 가장 중요한 그림이다. [증명] 포물선 $y^2 =4px$ 위의 점 A$(x_1 , y_1 )$ 에서 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x+x_1 )$ 이고 이때 $x$ 절편은 C$(-x_1 , 0)$이다. 점 A를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 준선과 만나는 점을 B라 하면 B$(-p, y_1 ) $ 이다. 두 선분 $\rm \overline{AB}, \; \overline{FC}$ 서로 평행하고 $\rm \overline{AB}=\overline{FC} $ $=x_1 +p$ 이다. 또 포물선의 정의에 의해 $\rm \overline{AF}=\overline{AB}$이므로 사각형 ABCF 는..

포물선의 초점을 지나가는 직선의 성질 $$\Box \textrm{ABCD}=(a+b)\sqrt{ab} $$ [증명] 포물선 $y^2 = 4px$ 에서 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하고 두 점 A, B에서 준선 $x=-p$ 에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하자. 사다리꼴 ABCD의 넓이는 $\rm \displaystyle\frac{1}{2} \left( \overline{AC}+\overline{BD} \right ) \times \overline{CD} $ $=\displaystyle\frac{1}{2} (a+b) \times 2 \sqrt{ab}$ $=(a+b)\sqrt{ab}$ 여기서, $\rm \overline{CD}$ $=2\sqrt{ab}$ 도 자주 사용된다..

포물선의 초점을 지나는 직선 초점 F를 지나는 직선의 AB의 기울기 $$\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$$ 이다. [증명] 포물선 $y^2 = 4px $ 에서 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하면 기울기가 $m$ 인 직선의 방정식은 $y=m(x-p)$ 이다. AF$=a,$ BF$=b$라 하면, $\textrm{AB} ^2 = \textrm{BC} ^2 + \textrm{AC} ^2 $ 에서 $\textrm{AC} ^2 = (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $ $$ \textrm{AC} = 2 \sqrt{ab} $$ $$m=\displaystyle\frac{\textrm{AC}}{\textrm{BC}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{ab}}{a..

포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{p}$$ 또는 $$ab=p(a+b)$$ proof 1 포물선 $y^2 = 4px$ 에서 초첨 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하고 점 A에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 C, 점 B를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 점 A를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선과 만나는 점을 D라 하자. $\textrm{ AB}=a,$ $\textrm{BF}=b$ 라 하면 $\triangle \textrm{ABC} \propto \triangle \textrm{ABD}$ 에서 $$a:(a-2p)=(a+b):(a-b)$$ 정리하면 $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{p}$$ 다..

포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 $$\rm \overline{OF}^2 = \rm \overline{AP}\times \rm \overline{BQ}$$ 점 A, B 의 좌표를 각각 $x_1, x_2 $ 라 하고 포물선의 초점의 $x$ 좌표를 $p$ 라 하면 $$x_1 x_2 = p^2$$ [증명 1] 포물선 $y^2 = 4px$ 의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점 A, B의 좌표를 각각 $x_1 , x_2 $ 라 하자. 초점 F의 $x$ 좌표를 $p$ 라 하면 포물선 정의에 의해서 $$\overline{AF}=x_1 +p , \; \overline{BF}=x_2 +p$$ 이다. 삼각형 AFH ∝ 삼각형 ABR 에서 $$\overline{FH}=x_1 -p \; \overline{BF..

사선방향으로 잘린 사면체의 부피 사면체 $\textrm{APQR}$의 부피는 $$\displaystyle\frac{\textrm{AP}}{\textrm{AB}} \times \displaystyle\frac{\textrm{AQ}}{\textrm{AC}} \times \displaystyle\frac{\textrm{AR}}{\textrm{AD}} \; \textrm{V}$$ [증명] 삼각형 APQ의 넓이를 $\textrm{S}'$ 라 하면 $\textrm{S}'=\displaystyle\frac{1}{2} \textrm{AP} \cdot \textrm{AQ} \sin A$ 한편, 삼각형 ABC의 넓이 S라 하면 $\textrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2} \textrm{AB} \cdo..

삼차함수의 변곡점을 지나가는 직선으로 나누어진 두 도형의 넓이는 같다. 삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이므로 A=B의 넓이는 같다. [증명] 변곡점을 원점인 삼차함수로 보여도 일반성을 잃지 않으므로 $f(x)=ax^3 + bx$ 라 하고 변곡점인 원점을 지난가는 직선을 $y=mx$ 라 하자. 함수 $y=f(x)$ 와 직선 $y=mx$ 가 만나는 교점의 $x$ 좌표를 $0, \pm \alpha$ 라 할 때, $\displaystyle\int_{-\alpha }^{\alpha }(ax^3 +bx -mx)dx=0$이 됨을 알 수 있다. 따라서 변곡점을 지나는 직선에 의해 나뉜 두 도형의 넓이는 같다. 또한, $x_1 , \; x_2 , \; x_3$ 는 등차수열을 이룬다. 즉, 두 선분의 길이가 같다. Exam..

삼차함수에서 근과 극값의 비율 삼차함수에서 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수의 근사이에는 $$\mathbf{\overline{ \textrm{OA}} : \overline{ \textrm{OB}} =1: \sqrt{3}}$$ [증명] 변곡점을 원점으로 놓아도 일반성을 잃지 않으므로 $f(x)=ax(x^2 - b^2) \; (b>0)$ 라 하면 $x=b, \; \pm \displaystyle\frac{b}{\sqrt{3}}$ $f(x)=0$ 의 한근 $b$와 극점의 $x$ 좌표 $\displaystyle\frac{b}{\sqrt{3}}$이므로 $1: \sqrt{3}$ 를 만족한다. Example 1 삼차함수 $f(x)=x(x^2 - 3)$ 에서 극댓값을 구하여라. solve $f(x)=0$ 의 세 근이 $0..

삼차함수 비율관계 실전 활용 삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이고 위의 그림과 같은 비율 관계가 성립한다. 증명은 이전 글을 참고하세요. 이번 글에서는 삼차함수의 비율관계를 실제 문제 속에서 활용하는 방법에 중점을 두기로 한다. Example 1 삼차함수 $f(x)=x^3 + ax^2 + bx$의 극댓값이 $4$ 이고 극솟값이 $0$ 일 때, $f(2)$의 값은? [풀이] $x=t$에서 극댓값을 갖는다고 하면 $x=3t$에서 극솟값을 가져야 한다. $f(x)=x(x-3t)^2$ 에서 $f(t)=4t^3 =4$ $\therefore \; t=1$ $\therefore \; f(2)=2$ [다른풀이] $f(t)-4=(x-t)^2 (x-4t)$로 놓을 수 있다. $f(0)=4-4t^3=0$ 에서 $\therefo..

빈출 분수함스 그래프 분석 $$y=\displaystyle\frac{b}{x^2 + a} \; (a>0, b>0)$$ (1) 우함수($y$축 대칭)이다. (2) $x$ 축을 점금선으로 갖는다. (3) $x=0$ 에서 극댓값을 갖는다. (4) $x=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{a}{3}}$ 에서 변곡점을 갖는다. 적어도 그래프 개형 정도는 기억해두면 좋다. 나머지 성질은 덤이다. 참고로, $y=e^{-kx^2} (k>0)$ 도 종-모양(bell-curved) 그래프이다. $\to$ 정규분포곡선의 함수꼴이다. $x=\pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}k}$ 에서 변곡점을 갖는다. [증명] 1. $f(-x)=\displaystyle\frac{b}{(-x)^2 +..