두 함수의 곱이 연속이 될 조건

  두 함수의 곱의 연속 조건

$x=a$ 에서 $f(x)$ 는 연속이고 $g(x)$ 는 불연속일 때 $f(x)g(x)$ 가 $x=a$ 에서 연속이 되기위해서는 $f(a)=0$이어야 한다. ( 단,  $g(a)$  값은  존재한다. )

   ★★★대단히 중요한 내용이다. 수능 및 내신 빈출 내용이므로 반드시 숙지해야 한다.

[증명] $x=a$에서 $f(x) g(x)$ 가 연속되기 위해서는

   $f(a) g(a)=\displaystyle \lim_{ x\to a } f(x) g(x)$ 가 성립해야 한다.

   $\displaystyle \lim_{ x\to a+} g(x)=R, $  $\displaystyle \lim_{ x\to a-} g(x)=L,$  $g(a)=C$이라 하면

$f(a)\cdot C=f(a)\cdot R=f(a)\cdot L$ 에서 $\therefore \;f(a)=0$

 

엄밀한 증명에서는 $\displaystyle \lim_{ x\to a} g(x)=\pm \infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{ x\to a} g(x)$ 진동하는 경우도 따져봐야 하지만 고교과정에서 다루지 않기 때문에 생략한다.

 

Example 1

두 함수 $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 & (x \leq 1) \\  -x+1& (x>1) \\ \end{matrix}\right. ,$    $g(x)=x+a$ 에 대하여 함수  $f(x)g(x)$ 가 $x=1$ 에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$ 의 값을 구하여라.

[풀이] $f(x)$ 가 $x=1$ 에서 불연속이므로 $g(1)=0$ 이 되어야 한다.

         $g(1)=1+a=0$   $\therefore\;\; a=-1 $

 

 

 

Example 2

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와  $g(x)=\left\{\begin{matrix}  -2& (x \leq 1) \\  -x+1 &   (1<x<2) \\  2& (x \geq 2) \\ \end{matrix}\right.$ 에 대하여 함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이다. $f(0)$ 의 값을 구하여라.

[풀이] $g(x)$ 가 $x=1,\;2$ 에서 불연속이므로 반드시 $f(1)=f(2)=0$ 이 되어야 한다.

         $f(x)=(x-1)(x-2)$   $\therefore\;\; f(0)=2 $

 

 

나만의 수학 비법

 

 

Example 3

함수 $y=f(x)$ 의 그래프가 아래 그림과 같고 다항함수 $g(x)$ 는 다음 조건을 만족한다. 이때 $g(4)$ 의 값을 구하여라.   (가)  $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{g(x)}{x^2 +x +1}=2$   (나)  모든 실수 $x$에서  $f(x)g(x)$ 는 연속이다.

[풀이] (가)에서 $g(x)$ 의 이차항의 계수는 $2$이다.

(나)에서 $f(x)$ 가 $x=-1,\;1$에서 불연속이므로 $g(1)=g(-1)=0$이다.

$g(x)=2(x+1)(x-1)$   $\therefore\; g(4)=30$

 

 

 

Example 4

두 함수 $f(x)=\left\{\begin{matrix}  x+3& (x \leq a) \\  x^2 -x& (x>a) \\  \end{matrix}\right. ,$   $g(x)=x-(2a+7)$ 에 대하여 함수 $f(x)g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 $a$ 의 값의 곱을 구하시오.  [2016년 수능]

[풀이] (i) $f(x)$가 $x=a$ 에서 연속일 때, $f(x)g(x)$는 무조건 연속이다.

$a+3=a^2 -a$ 에서 $a=-1,\; 3$

(ii) $f(x)$가  $x=a$에서 불연속일 때, 반드시 $g(a)=0$ 이어야만 하므로

$\therefore \; a=-7$ 

따라서 모든 $a$의 곱은 $3\times (-1)\times(-7)=21$