수열(함수)의 극한 계산 팁

   수열의 극한 | 함수의 극한 계산 팁 

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\infty $ 이고  $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(m \cdot a_n + n \cdot b_n )=k$ 이면 $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=-\frac{m}{n}$$ 이 성립한다.

고등학교 내신에서는 내신 단골 빈출 유형이다. 굳이 공식으로는 외울 필요없이 유도 과정만 알아도 충분하다.

[증명] $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_{n}=\infty$ 에서 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_n}=0$이다. 수렴하는 두 수열의 곱도 수렴하므로

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left  \{\frac{1}{a_n}  \times (m \cdot a_n + n \cdot b_n)  \right \}=0 \times k$$

$$\displaystyle\lim_{n \to \infty}  \left( m + n \cdot \frac{b_n}{a_n} \right)  =0 $$

$$\therefore \;\; \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=-\frac{m}{n}$$

 

 

Example 1

두 수열 $\left\{ a_n\right\},$  $\left\{ b_n\right\}$ 에 대하여 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty,$  $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} (a_n -2b_n ) = 2$ 일 때,  $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} \frac{2b_n + 3}{a_n +1}$ 의 값을 구하여라.

[풀이] $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=-\frac{1}{2}$ 이므로

준식=$\displaystyle \lim_{ n \to \infty} \frac{2\displaystyle\frac{b_n}{a_n} + \displaystyle\frac{1}{a_n}}{1 +\displaystyle\frac{1}{a_n}}
=\frac{2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+0}{1+0}=1$

 

 

Example 2

두 수열 $\left\{ a_n\right\},$  $\left\{ b_n\right\}$ 에 대하여  $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty,$ $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} (2a_n -b_n ) = 3$ 일 때, $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} \frac{2a_n + 3b_n }{a_n - b_n}$ 의 값을 구하여라.

[풀이] $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=2$ 이므로

준식=$\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{2+3\displaystyle\frac{b_n}{a_n}}{1-\displaystyle\frac{b_n}{a_n}} 
=\frac{2+3\cdot2}{1-2}=-8$

 

 

 

Example 3

함수 $f(x),$  $g(x)$ 가 $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}f(x)=\infty,$  $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\left\{f(x)-2g(x)    \right\}=k$ 를 만족할  때,   $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{4f(x)-3g(x)}{5f(x)-2g(x)}$의 값은? (단, $k$ 는 상수)

[풀이] $ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$ 이므로

준식=$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{4-3 \displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}}{5-2\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}} 
=\frac{4-3 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}}{4-2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}}=\frac{5}{8}$

 

 

 

Example 4

두 함수 $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}f(x)=\infty,$  $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\left\{f(x)-g(x) \right\}=2$ 를 만족할 때,   $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{f(x)+3g(x)}{-f(x)+6g(x)}$의 값을 구하여라.

[풀이] $ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{1}{3}$ 이므로

준식=$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{1+3 \displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}}{-1+6\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}} 
=\frac{1+3 \cdot \displaystyle\frac{1}{3}}{-1+6\cdot \displaystyle\frac{1}{3}}=2$

 

 

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