교대급수의 수렴 발산

  교대급수의 수렴 발산

다음과 같은 꼴(고등수학 내신 빈출 유형)의 교대급수의 수렴 발산을 구하는 강력하고 간단한 방법이다.

$$S=A-B+B-C+C-D+D- \cdots $$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}=0$ 이면 급수 $S$는 수렴한다.

[증명] 수열 $\left\{ a_n\right\}$ 에서 첫번째 항부터 제 $n$항까지의 합을 $\left\{ S_n\right\}$ 이라 하면

$S_{2n-1}=A-(B-B)-(C-C)-(D-D)- \cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})=A$

$S_{2n}=(A-B)+(B-C)+(C-D)+ \cdot +(a_{2n-1}-a_{2n})=A-a_{2n}$

$\displaystyle \lim_{ n\to \infty}S_{2n-1}=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}S_{2n}$ 에서

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}=0$ 이면  $ S$ 가 수렴한다.

즉, 짝수 번 째항의 극한값이 $0$으로 수렴하면 위의 교대급수는 수렴한다.

일반적으로
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ 이고 $0< a_{n+1} \leq a_{n}$ 이면
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n $ 은 수렴한다. 이를 교대급수 판정이라한다.

 

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Example 1

급수   $\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}+\cdots$  의 수렴, 발산을 조사하여라.

[solve] 짝수 번째 항만 조사해보면 된다.

$\displaystyle\frac{2}{3}, \;\; -\frac{3}{4}, \;\; -\frac{4}{5},\cdots , -\frac{n+1}{n+2}$ 에서

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left ( -\frac{n+1}{n+2} \right )=1\neq 0$ 이므로 발산한다. 

 

 

Example 2

급수   $1-\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\cdots$  의 수렴, 발산을 조사하여라.

[solve] 짝수 번째 항만 조사해보면 된다.

$-\displaystyle\frac{1}{2}, \;\; -\frac{1}{3}, \;\; -\frac{1}{4},\cdots , -\frac{1}{n+1}$ 에서

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left ( -\frac{1}{n+1} \right )=0$ 이므로 수렴한다. 

 

 

 

 

Example 3

수열  $a_n = \log \displaystyle\frac{kn}{n+1}$ 에 대하여 급수  $ a_1 -a_2 +a_2 -a_3 +a_3 -a_4 +a_4 -\cdots$ 가 수렴하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하여라.

[solve] 짝수 번째 항 $a_2 , \; a_3 , \; a_4 , \; a_5 , \; \cdots , \; a_{n+1}$ 에서

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log \displaystyle\frac{kn}{n+1}=\log k =0$ 에서 $\therefore \;\; k=1$