함수식에서 도함수 빠르게 구하기

  함수식에서 미분계수 신속하게 구하기

고등학교 내신 단골 빈출유형이다.

(1) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax }y+b$  $\Rightarrow $  $f'(x)=ax+f'(0)$ (2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax^2 }y+axy^2 +b$  $\Rightarrow $  $f'(x)=ax^2+f'(0)$

        ★★★  즉,    $f'(x)=$   ( $y$ 앞의 계수 )  $x+f'(0)$   ★★★

 

(1) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax }y+b$  $\Rightarrow $  $f'(x)=ax+f'(0)$

[proof] $(\rm{i})$  $x=0,$  $y=0$ 일 때, $f(0+0)=f(0)+f(0)+b$    $\therefore\;\; b=-f(0)$
\begin{flalign}      
(\rm{ii})  \; f'(x)&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(x)+f(h)+axh+b-f(x)}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(h)+axh+b}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(h)+axh-f(0)}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}+ax \\

&=f'(0)+ax &&

\end{flalign}

 

 

(2) $f(x+y)=f(x)+f(y)+{\color{Red}ax^2 }y+axy^2 +b$  $\Rightarrow $  $f'(x)=ax^2+f'(0)$

[proof] $(\rm{i})$  $x=0,$  $y=0$ 일 때, $f(0+0)=f(0)+f(0)+b$    $\therefore\;\; b=-f(0)$
\begin{flalign}      
(\rm{ii})  \; f'(x)&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(x)+f(h)+ax^2 h +axh^2 +b-f(x)}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(h)+ax^2 h +ax^2 h-f(0)}{h} \\

&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\left( \frac{f(0+h)-f(0)}{h} +axh \right)+ax^2  \\

&=f'(0)+ax^2 &&

\end{flalign}

 

 

 

Example 1

미분 가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x,\; y$ 에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,$  $f'(0)=1$일 때,  $f'(x)$를 구하여라.

[solve]  $f'(x)=2x+f'(0)=2x+1$

 

 

 

 

Example 2

미분 가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x,\; y$ 에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)-xy(x+y),$  $f'(0)=2$일 때,  $f'(1)$를 구하여라.

[solve]  $f'(x)=-x^2+f'(0)=-x^2 +2$  $\therefore \;\; f'(1)=1$

 

 

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Example 3

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족할 때, $f(3)$의 값은? (가) $f'(1)=2$ (나) $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)-3$

[solve]  $f'(x)=x^2+f'(0)$ 에서  $f'(1)=1+f'(0)=2$  $\therefore\; f'(0)=1$

$f'(x)=x^2 +1,$    $f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{3}x^3 + C$   

 한편, $f(0)=0$이므로  $C=0$   $\therefore\; f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{3}x^3 $  

따라서 구하는 $f(3)=15$

 

참고로, 함수방정식

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 을 만족하는 함수 $f(x)$ 는 상수항이 없는 일차식이다.

이를 위의 사실로 간단하게 설명할 수 있다. 

$f'(x)=0+f'(0)$ 에서 $f(x)=f'(0)x +C$이다.

$f(0)=0$ 이므로 $f(x)=f'(0)x$ 임을 알 수 있다.