수렴사실을 아는 수열의 극한

수렴 사실을 알고 있는 수열의 극한 계산 팁

예제와 함께 재미로 보기로 하자.

Example 1

수열  $a_{n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2a_{n}+3}{a_{n}+1}=1$ 일 때,  $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$의 값을 구하여라.

 풀이   $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$ 라 가정하면(수렴 사실을 알 수 없기 때문에 일반적 풀이는 될 수 없다. 객관식 문항에서 정답을 신속하게 구하는 방법이다. 수렴함을 이미 전제로 출제했기 때문에  사용할 수 있는 팁이라 할 수 있다.)

$$\frac{2\alpha +3}{\alpha+1}=1, \;\;\; \alpha =-2 $$

 

 

Example 2

수열 $a_{n}$ 에서 $4a_{n+1}=3a_{n}+2$ 일 때,  $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$의 값은?

 풀이   $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$라 가정하면$$4\alpha=3\alpha+2, \;\; \alpha =2$$

          참고로 $a_{n+1}=pa_{n}+q$ 에서   $\left | p \right | <1$ 일때 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_{n}$ 이 수렴한다.

 

 

Example 3

수열 $a_{n}$ 에 대하여 $a_{n+1}=\sqrt {2a_{n}+8}$ 일 때,  $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}$의 값은?

 풀이   $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$라 가정하면$$\alpha=\sqrt{2\alpha+8}, \;\;\; \alpha =4\; (\because \alpha >0) $$

 

 

 

 

 

 

 

Example 4

수열 $a_{n}$ 과 $b_{n}$이 $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(n+1)a_n =2$,   $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(n^2 +1)b_n =7$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{(10n+1)b_n}{a_n}$의 값을 구하여라. (단,  $a_{n} \neq 0$ )

 풀이  $a_{n}=\displaystyle\frac{2}{n+1}$,  $b_{n}=\displaystyle\frac{7}{n^2 +1}$라 놓아도 된다. 그러나 최고차항을 제외한 부분은 극한값에 영향을 미치지 않으므로 버려도 무방하다. 간단하게 $a_{n}=\displaystyle\frac{2}{n},$  $b_{n}=\displaystyle\frac{7}{n^2}$ 라 해도 된다.

\begin{align}

\displaystyle \lim_{ n\to \infty}& \frac{(10n+1)b_n}{a_n} \\

&=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(10n+1)\frac{ \displaystyle\frac{7}{n^2} }{  \displaystyle\frac{2}{n} } \\

&=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(10n+1)\frac{7n}{2n^2}=35

\end{align}

엄밀한 풀이가 아니므로 서술형 답안에 사용하면 안된다. 신속한 답을 구하는 재밌는 팁이다.

 

 

Example 5

수열 $\left\{ a_n\right\},$ $\left\{ b_n\right\}$에 대하여  $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(2n-1)a_n =3,$   $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(n^2 + 3n +2)b_n =2$ 일 때   $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(2n+1)^3 a_n b_n$ 의 값을 구하여라.

풀이  $a_{n}=\displaystyle\frac{3}{2n},$  $b_{n}=\displaystyle\frac{2}{n^2}$ 이라 하면 

$$\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(2n+1)^3 a_n b_n $$

$$=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(2n+1)^3 \frac{3}{2n}\cdot\frac{2}{n^2}=24$$