등비급수로 표현된 함수의 연속

  등비급수로 표현된 함수의 연속 조건

 

함수 $f(x)$ 를 다음과 같이 정의 할 때,  $$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^k}{(1+x^m )^{n}}$$ $(1)\;\; k >m$이면 함수 $f(x)$ 는 모든  실수에서  연속    $(2)\;\; k \leq m$ 이면 함수 $f(x)$는 $x=0$ 에서 불연속        ( 단, $m$ 은 $2$ 이상의 자연수, $k$ 는 자연수 )

[proof] 

$(\rm {i})\; x \neq 0$ 이면 $0<\displaystyle\frac{1}{1+x^m}<1$ 에서 $f(x)$ 는 수렴한다.

\begin{align}

f(x)&=\frac{x^k}{1-\displaystyle\frac{1}{1+x^m}}\\

&=x^k \cdot \frac{(1+x^m)}{x^m}=x^{k-m}\cdot (1+x^m)

\end{align}

$(\rm {ii})\; x=0$  이면  $f(0)=0$

     $(i),\;(ii)$ 에 의해 $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{k-m}(1+x^m) & (x\neq 0) \\
 0& (x=0) \\
\end{matrix}\right.$$

함수 $f(x)$ 가  모든  실수  $x$ 에  대하여  연속이 되기 위해서는 $x=0$ 에서 연속이면 된다.

$k>m$ 일 때    $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=f(0)=0$ 이 되므로

 $k>m$  이면  함수 $f(x)$ 는 모든 실수 $x$에 대하여 연속이다. 

 

Example 1

다음 함수 중에서 실수 전체 집합에 대하여 연속인 함수를 모두 고르면 (가)  $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^3}{(1+x^2)^n}$ (나)  $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$ (다)  $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^4)^{n-1}}$ (라)  $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^8}{(1+x^6)^{n-1}}$

[solve]  (가) $3>2$ 연속  (다) $8>6$ 연속 

 

 

 

Example 2

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^m}{(1+x^4)^n}$ 이  모든 실수에서 연속이 되기 위한 자연수 $m$의 최솟값을 구하여라.

[solve] $m>4$ 일 때 연속이므로 최소 자연수 $m=5$이다.

 

 

 

 

Example 3

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{ \left|x \right|^{m}}{(1+\left|x \right| )^n}$ 이  $x=0$ 에서 연속이 되기 위한 자연수 $m$의 최솟값은?

[solve] $m>1$ 일 때 연속이므로 최소 자연수 $m=2$이다.