포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 1

    포물선의 초점을 지나는 직선의 성질

$$\rm \overline{OF}^2 =  \rm \overline{AP}\times \rm \overline{BQ}$$

 

점 A,  B 의 좌표를 각각 $x_1, x_2 $ 라 하고 포물선의 초점의  $x$ 좌표를 $p$ 라 하면 

$$x_1 x_2 = p^2$$ 

 

 

[증명 1]

 

포물선 $y^2 = 4px$ 의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점 A, B의 좌표를 각각 $x_1 , x_2 $ 라 하자. 초점 F의 $x$ 좌표를 $p$ 라 하면 포물선 정의에 의해서

$$\overline{AF}=x_1 +p , \; \overline{BF}=x_2 +p$$

이다. 삼각형 AFH ∝ 삼각형 ABR 에서 

$$\overline{FH}=x_1 -p \; \overline{BF}=x_1 - x_2 $$

이므로

$$\overline {AF}:\overline {FH}=\overline {AB}:\overline {BR}$$

이다.

$$(x_1 +p ) :(x_1 - p)=(x_1 + x_2 +2p): x_1 - x_2 $$

정리하면

$$\therefore \; x_1 x_2 = p^2 $$

 

 

[증명 2]

포물선의 방정식을 $$y^2 = 4px \tag{1}$$

라 하고 초점을 지나가는 직선의 방정식을 $$y=m(x-p) \tag{2}$$

라 하자. (2)식을 (1)식에 대입하고 정리하면

$$m^2 x^2 - 2p (m^2 + 2 ) x + m^2 p^2 = 0 \tag{3}$$

(3)의 방정식의 두 근을 $x_1, x_2 $라 하면 

$$\rm \overline{AP}=\it {x} _1,  \;\rm \overline {BQ}= \it {x }_2 $$

근과 계수의 관계에 의하여

$$x_1 x_2 = \displaystyle\frac{m^2 p^2 }{m^2}=p^2\; \;(m\neq 0)$$

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

Example 1

그림과 같이 포물선 $y^2 = 12x$ 의 초점 F를 지나는 직선과 포물선이 만나는 두 점 A, B에서 준선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하자. $\rm \overline{AC}=4$ 일 때, 선분 BD의 길이는? [2014년 수능]

[해설] $A \left (x_1, y_1 \right ), B(x_2 , y_2 )$ 라 하면 준선 $l$ 은 $x=-3$ 이다.

$x_1 = \overline{CA}-3 = \overline{AF}-3=1$  이고 $x_2 = \overline{DB}-3 = \overline{BF}-3$

$x_1 x_2 = 3^2$ 에서 $1\times \left( \overline{BF}-3 \right ) =9$

$\therefore \; \rm \overline{BF}=\overline{BD}=12$ 

 

 

 

 

Example 2

포물선 $y^2 = 12x$ 와 점 $(3, 0)$ 을 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하고 두 점 A, B에서 $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하자 $rm \overline{OP} \times \overline{OQ}$ 의 값을 구하여라.

[해설] $A \left (x_1, y_1 \right ), B(x_2 , y_2 )$ 라 하면  $\rm \overline{OP} \times \overline{OQ}$ $=\left|  y_1 \right| \left|  y_2 \right|=\left|  y_1y_2 \right|$

$y_1 ^2 =12x_1 ,$ $y_2 ^2 =12x_2 $ 에서  $y_1 ^2 y_2 ^2 = 12^2 x_1 x_2 =12^2 \times 3^2 $ $ \left (\because x_1 x_2 = 3^2 \right )$

$ y_1 y_2 =36$ 에서  $\therefore \; \rm \overline{OP} \times \overline{OQ}=36$