포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 2

    포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{p}$$ 또는

$$ab=p(a+b)$$

 

 proof 1 

 

포물선 $y^2 = 4px$ 에서 초첨 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 A, B라 하고 점 A에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 C, 점 B를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 점 A를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선과 만나는 점을 D라 하자.

$\textrm{ AB}=a,$ $\textrm{BF}=b$ 라 하면

$\triangle \textrm{ABC} \propto \triangle \textrm{ABD}$ 에서

$$a:(a-2p)=(a+b):(a-b)$$ 정리하면

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{p}$$ 

 

다시 변형해주면

$$ab=p(a+b)$$

가 된다. 이 형태로 기억해두면 더 좋다.

 

 proof 2 

포물선 $y^2 = 4px$에서 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는  두 점을 A, B라 하자.

AF$=a,$ BF $=b$ 라 하면

$$(a-p)(b-p)=p^2  $$  정리하면  (이전 글 참고)

$$\therefore \; ab=p(a+b)$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

Example 1

자연수 $n$ 에 대하여 포물선 $y^2 = \displaystyle\frac{x}{n}$ 의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하자. $\rm \overline{PF}=1$ 이고  $\rm \overline{FQ}=$ $a_n$ 이라 할 때,  $\displaystyle\sum_{n=1} ^{10} \frac{1}{a_n}$ 의 값은? [2013년 수능]

[해설]

$\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{a_{n}}=4n$ 에서 $\therefore \; a_n = \displaystyle\frac{1}{a_n}$

 

$\therefore \; \displaystyle\sum_{n=1} ^{10} \frac{1}{a_n}=\sum_{n=1} ^{10} (4k-1)=210$

 

 

 

Example 2

포물선 $y^2 = 12x$ 의 초점 F를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하자. $\textrm{AF}: \textrm{BF}=3:1$ 일 때, 선분 $\textrm{AB}$ 의 길이를 구하여라.

[해설]

$\textrm{AF}$ $=3k,$  $\textrm{BF}$ $=k \;(k>0)$ 라 하면 

$$ 3k \cdot k = 3(3k+k) \;\; \therefore \; k=4 $$

$$\textrm{AB}=\textrm{AF}+\textrm{BF}=4k=16 $$