삼차함수 근과 극값의 비율

 

  삼차함수에서 근과 극값의 비율

삼차함수에서 변곡점을 지나는 직선과 삼차함수의 근사이에는

삼차함수 근과 극값의 비율

$$\mathbf{\overline{  \textrm{OA}} :  \overline{  \textrm{OB}} =1: \sqrt{3}}$$

 

[증명]

변곡점을 원점으로 놓아도 일반성을 잃지 않으므로

$f(x)=ax(x^2 - b^2) \; (b>0)$ 라 하면

$x=b, \; \pm \displaystyle\frac{b}{\sqrt{3}}$

$f(x)=0$ 의 한근 $b$와 극점의 $x$ 좌표 $\displaystyle\frac{b}{\sqrt{3}}$이므로

$1: \sqrt{3}$ 를 만족한다.

 

 

 

Example 1

삼차함수 $f(x)=x(x^2 - 3)$ 에서 극댓값을 구하여라.

 solve 

$f(x)=0$ 의 세 근이 $0, \pm \sqrt{3}$ 이므로 극점의 $x$ 좌표는 $\pm 1$ 이다.

따라서 극댓값은 $f(-1)=2$ 이다.

 

 

 

 

 

Example 2

삼차함수 $f(x)=ax^3 +bx$ 에서 $x=2$ 에서 극솟값을 가질 때, 다른 두 근 $\alpha, \; \beta$라 할 때  $\alpha ^2 + \beta ^2$ 의 값은?

 solve 

$f(x)$ 는 원점을 변곡점으로 하고 $x=2$ 에서 극값을 가지므로

따라서 $\pm 2 \sqrt{3}$ 을 근으로 갖는다.

$\therefore \; \alpha ^2 + \beta ^2 = 12 + 12 = 24$

 

 

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

Example 3

삼차함수 $y=x^3 -3x^2 +2x+1$ 와 직선 $y=m(x-1)+1$이 만나는 교점의 좌표가 $a,\; 1,\; b\; (a<1<b)$ 일 때,  방정식 $f'(x)=m$ 을 만족하는 근을 구하여라.

 solve 

직선 $y=m(x-1)+1$ 은 삼차함수의  변곡점 $(1, 1)$ 을 지난다.

점 $P$ 의  $x$ 좌표를 $t$ 라 하면  $t-1 : b-1 = 1: \sqrt{3}$ 에서 

$t=\displaystyle\frac{b-1}{\sqrt{3}}+1$ 이다.

점$(1, 1)$ 에  대한 대칭이므로 다른 근은  $t=\displaystyle\frac{a-1}{\sqrt{3}}+1$이다.

따라서 구하는 두 근은

$$\displaystyle\frac{a-1}{\sqrt{3}}+1, \; \displaystyle\frac{b-1}{\sqrt{3}}+1$$