포물선의 초점을 지나는 직선의 성질 5

    포물선의 초점을 지나가는 직선의 성질

 포물선의 접선의 다이아몬드

포물선의 접선의 기하학적 성질을 설명하는 가장 중요한 그림이다.

 

[증명]

포물선 $y^2 =4px$  위의 점 A$(x_1 , y_1 )$ 에서 접선의 방정식은 $y_1 y = 2p(x+x_1 )$ 이고 
이때 $x$ 절편은 C$(-x_1 , 0)$이다.
점 A를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 준선과 만나는 점을 B라 하면 B$(-p, y_1 ) $ 이다.
두 선분 $\rm \overline{AB}, \; \overline{FC}$ 서로 평행하고
$\rm \overline{AB}=\overline{FC} $ $=x_1 +p$

이다. 또 포물선의 정의에 의해  $\rm \overline{AF}=\overline{AB}$이므로  사각형 ABCF 는 마름모이다.

 

 

    포물선의 빛 반사성질

 

포물선의 접선이 이루는 마름모의 성질을 이용하면 간단하게 다음 사실을 보일 수 있다.

 

포물선의 축에 평행하게 입사하는 빛은 포물선면에 반사되어 초점을 지난다. 빛은 역으로도 진행한다.

 

 

Example 1

포물선 $y^2 =4px \; (p>0)$ 위의 원점이 아닌 점 P에서의 접선이 $x$ 축 $y$축과 만나는 점을 Q, R 이라 하자. 또 점 P에서 준선과 $x$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\textrm {H}, \; \textrm{H'}$ 라 하자. 이 포물선의 초점을 F라 할 때 다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 고르라. ㄱ.   $\rm \overline{AF}=\overline{QF}$ ㄴ.   $\rm 2 \overline{OR}=\overline{AH'}$ ㄷ.   $\rm \overline{FR} \perp \overline{AQ}$ ㄹ.   $\rm 2 \angle AQF = \angle AFH' $

[풀이] 

마름모이므로 모두 옳다.

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

Example 2

그림과 같이 초점이 F인 포물선 $y^2 =4x$ 위의 한 점 P에서의 접선이 $x$축과 만나는 점의 $x$ 좌표가 $-2$이다. $\cos (\angle \textrm{PFO})$의 값은? (단, O는 원점이다.)  [2016년 평가원]

[풀이]  접선의 다이아몬드를 완성해본다.

점P 에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $H$ 라 하면 초점 $F$의 좌표는 $(1, 0)$ 이고 점 H는 $(2, 0)$이다.

\begin{align}
\cos (\angle \textrm{PFO})&=\cos (\pi - \angle \textrm{PFH}) \\  
&= - \cos (\angle \textrm{PFH})=-\displaystyle\frac{1}{3} 
\end{align}

     

 

 

Example 3

포물선 $y^2 =8x$ 위의 점 P$(a,b)$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 T 점 P에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하자. 이 포물선의 초점 F에 대하여 사각형 PHTF의 넓이가 $10 \sqrt{6}$ 일 때 자연수 $a$ 의 값은?

[풀이]  문제의 조건에 맞게 접선의 다이아몬드를 그려본다.

$\rm \overline{TF}=2+a,$ 높이는 $b$ \; (a>0, b>0) $ 에서

사각형 PHTF의 넓이는$(2+a)b=10 \sqrt{6}$ 이다.

한편, $b^2 =8a$ 이므로 

$$(2+a)\cdot \sqrt{8a}=10 \sqrt{6}$$

$$a(a+2)^2 = 3 \cdot 5^2  \;\; \therefore \; a=3$$