분수함수 그래프 개형 II

  빈출 분수함스 그래프 분석 

 

 $$y=\displaystyle\frac{b}{x^2 + a} \; (a>0, b>0)$$

(1) 우함수($y$축 대칭)이다.     (2) $x$ 축을 점금선으로 갖는다.     (3) $x=0$ 에서 극댓값을 갖는다.     (4) $x=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{a}{3}}$ 에서 변곡점을 갖는다.

적어도 그래프 개형 정도는 기억해두면 좋다. 나머지 성질은 덤이다.

 

참고로,

$y=e^{-kx^2} (k>0)$ 도  종-모양(bell-curved) 그래프이다.

       $\to$ 정규분포곡선의 함수꼴이다.

       $x=\pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}k}$ 에서 변곡점을 갖는다.

 

[증명]

1. $f(-x)=\displaystyle\frac{b}{(-x)^2 +a}=\displaystyle\frac{b}{x^2 +a}=f(x)$

2. $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}f(x)=0$ 에서 $x$축을 점근선으로 갖는다.

3. $f'(x)=-\displaystyle\frac{2x}{(x^2 +a)^2}=0$ 에서 $x=0$ 에서 극댓값을 갖는다.

4. 4. $f''(x)=\displaystyle\frac{-2(x^2 +a)+2x \cdot 2(x^2 +a) \cdot 2x}{(x^2 +a)^4}$

     $=\displaystyle\frac{2(x^2 +a)(3x^2 -a)}{(x^2 +a)^4}$

    $=\displaystyle\frac{2(x^2 +a)\left(\sqrt{3}x - \sqrt{a}\right )\left(\sqrt{3}x + \sqrt{a}\right )}{(x^2 +a)^4}=0$

$x=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{a}{3}}$에서 변곡점을 갖는다.

 

 

 

Example 1

함수 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2 +1}$  그래프에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ. 함수 $f(x)$는  $y$ 축 대칭이다. ㄴ. $x=0$에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. 구간  $\left [ - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}},\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \right ] $  에서 $f''(x)<0$  이다.

[solve] ㄱ.ㄴ.ㄷ 모두 자명하다.

 

 

 

 

 

 

Example 2

방정식 $\displaystyle\frac{3}{x^2 -2x +2}=k$ 가 서로 다른 두 실근을 가질 때, 실수 $k$ 값의 범위는?

[solve]  $y=\displaystyle\frac{3}{x^2 -2x +2}$은 $y=\displaystyle\frac{3}{x^2 +1}$ 을 $x$ 축으로 $1$ 만큼 평행이동한 것이므로 $x=1$ 에서 최댓값 $3$ 을 갖는다.

 

$$\therefore\; 0<k<3$$

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

 

 

Example 3

$y$ 축 위의 점 $(0, k)$ 에서 곡선 $y=\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}$ 에 네 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$ 의 값의 범위를 구하여라.

[solve]  변곡접선을 접선의 개수와 밀접한 관계가 있으므로 반드시 체크해봐야 한다.

$x=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3}}$ 에서 변곡점을 갖고

변곡접선의 방정식은  $y=-\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}x + \displaystyle\frac{9}{3}$ 이다.

변곡접선의 $y$ 절편 $\displaystyle\frac{9}{4}$  이므로 

 

$$\therefore \;2 <k \leq \displaystyle\frac{9}{4} $$

 

 

 

 

 

Example 4

$x$ 축 위의 점 $(a, 0)$ 에서 곡선 $y=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 에 접선을 그을 수 없도록 하는 실수 $a$ 의 값의 범위는?

[solve]  종 모양을 하는 대표적인 지수함수이다.

변곡점의 좌표는 $\left( 1, \pm \displaystyle \frac{1}{ \sqrt{e}} \right )$ 이고

변곡접선의 방정식은 $y=\pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{e}}x+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{e}}$ 이다.

변곡접선의 $x$ 절편이 $\pm 2$ 이므로  $ -2<a<2$ 이면 접선을 그을 수 없다.

 

참고로

$a=\pm 2$ 이면 한 개의 접선

$a>2$ 또는 $a<-2$ 이면 두 개의 접선을 그을 수 있다.