삼차함수의 변곡점을 지나가는 직선의 성질

  삼차함수의 변곡점을 지나가는 직선으로 나누어진 두 도형의 넓이는 같다.

삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이므로 A=B의 넓이는 같다.

 

[증명]

변곡점을 원점인 삼차함수로 보여도 일반성을 잃지 않으므로

$f(x)=ax^3 + bx$ 라 하고 변곡점인 원점을 지난가는 직선을 $y=mx$ 라 하자.

함수 $y=f(x)$ 와 직선 $y=mx$ 가 만나는 교점의 $x$ 좌표를 $0, \pm \alpha$ 라 할 때,

$\displaystyle\int_{-\alpha }^{\alpha }(ax^3 +bx -mx)dx=0$이 됨을 알 수 있다.

따라서 변곡점을 지나는 직선에 의해 나뉜 두 도형의 넓이는 같다.

 

또한, $x_1 , \; x_2 ,  \; x_3$ 는 등차수열을 이룬다. 즉, 두 선분의 길이가 같다.

 

 

 

Example 1

곡선 $y=x(x-1)(x-k)$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 두 도형의 서로 같을 때, 상수 $k$ 의 값을 구하여라.(단, $k>1$ )

 SOLVE    $x$ 축과의 교점이 $0,1,k$ 에서 $k=2$ 이다.

 

 

 

 

 

Example 2

두 곡선 $y=x^3 - ax^2 ,$  $y=x^2 - ax$ 로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같을 때, 상수 $a$ 의 값을 구하여라. (단, $0<a<1$ )

 SOLVE    두 식을 연립하여 정리하면  $x^3 - (a+1)x^2 + ax = 0,$  $x(x-1)(x-a)=0$에서 세 근은 $0,a,1$ 이다.   $\therefore \; a=\displaystyle\frac{1}{2}$

 

 

 

 

 

 

나만의 수학 비법

 

 

 

 

 

Example 3

함수 $y=x^3 -(k+2)x^2 + 2(k+1)x$ 의 그래프와 직선 $y=2x$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1 , S_2$ 라 할 때, $S_1 = S_2 $ 가 되도록 하는 모든 양수 $k$ 의 값은?

 SOLVE    $x^3 - (k+2)x^2 + 2(k+1)x = 2x$ 에서   $x(x-2)(x-k)=0$에서 세 근은 $0,2,k$ 이다. 

(i) $0<2<k,$ $k=4$

(ii) $0<k<2,$ $k=1$  따라서 구하는 $k$는 $1, 4$ 이다.

 

 

 

 

 

Example 4

삼차함수 $y=f(x)$ 가 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(2-x)=2$ 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$ 와 직선 $y=x-1$ 과 서로 다른 세 점 $1, \pm t$ 에서 만날 때, $\displaystyle\int_{-t }^{t } \left \{ f(x)-x+1 \right \} dx$의 값은?

 SOLVE    

$f(x)+f(2a-x)=2b$ 를 만족하는 $f(x)$ 는 점 $(a, b)$ 에 점대칭이다.

직선  $y=x-1$은 삼차함수의 변곡점 $(1, 1)$ 을 지나므로

$$\displaystyle\int_{-t }^{t } \left \{ f(x)-x+1 \right \} dx=0$$

이다.