사선방향으로 잘린 사면체의 부피
사면체 $\textrm{APQR}$의 부피는
$$\displaystyle\frac{\textrm{AP}}{\textrm{AB}} \times \displaystyle\frac{\textrm{AQ}}{\textrm{AC}} \times \displaystyle\frac{\textrm{AR}}{\textrm{AD}} \; \textrm{V}$$
[증명]
삼각형 APQ의 넓이를 $\textrm{S}'$ 라 하면
$\textrm{S}'=\displaystyle\frac{1}{2} \textrm{AP} \cdot \textrm{AQ} \sin A$
한편, 삼각형 ABC의 넓이 S라 하면 $\textrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2} \textrm{AB} \cdot \textrm{AC} \sin A$에서
$\textrm{S}'=\displaystyle\frac{ \textrm{AP}}{\textrm{AB}} \cdot \displaystyle\frac{ \textrm{AQ}}{\textrm{AC}} \textrm{S}$
점 R, D에서 삼각형 ABC에 내린 수선의 발을 각각 H, G라 하면
$\triangle {\textrm{ARH}} \propto \triangle {\textrm{ADG}} $ 이므로
$ \textrm{RH}: \textrm{DG}= \textrm{AR}: \textrm{AD}$ $\therefore \textrm{RH}= \displaystyle\frac{\textrm{AR}}{\textrm{AD}} \cdot \textrm{DG}$
사면체 APQR의 부피를 $\textrm{V}' $라 하면
\begin{flalign}
\textrm{V}'&=\displaystyle\frac{1}{3} \cdot \triangle \textrm{APQ} \cdot \textrm{RH} \\
&=\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{ \textrm{AP}}{\textrm{AB}} \cdot \displaystyle\frac{ \textrm{AQ}}{\textrm{AC}} \textrm{S} \times \displaystyle\frac{\textrm{AR}}{\textrm{AD}} \cdot \textrm{DG} \\
&=\displaystyle\frac{\textrm{AP}}{\textrm{AB}} \times \displaystyle\frac{\textrm{AQ}}{\textrm{AC}} \times \displaystyle\frac{\textrm{AR}}{\textrm{AD}} \; \textrm{V} &&
\end{flalign}
여기서 흥미로운 사실은 사면체의 부피는 내분선들의 비율의 곱으로 표현 할 수 있다는 점이다. 또한 공간에서도 평면에서의 삼각형의 성질과 유사한 성질(체바의 법칙)등이 성립한다는 것이다.
실제로 사면체에서 메네라우스 정리가 적용된다. 후에 포스팅으로 올리도록 하겠다.