이항분포에서 $E(a^x)$ 값 구하기

이항분포에서   $E(a^x)$ 구하기

 

$X$ 가 이항분포 $B(n,\,p)$ 를 따를 때,

$$E(a^X )=(ap+q)^n \; (p+q=1)$$

[증명]

\begin{align}
E(a^X )&=\sum_{r=0}^n a^r \,_n C_r p^r q^{n-r} \\
&=\sum_{r=0}^n \,_n C_r (ap)^r q^{n-r} \\
&=(ap+q)^n 
\end{align}

 

Example 1

사건 A가 1회 시행에서 일어날 확률을 $p$일 때, $n$ 회 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수가 $X$ 라 하자. 확률변수 $X$ 의 평균이 80이고 분산이 64 일 때, $\displaystyle\sum_{r=0}^n 5^r \cdot\textrm{P} (X=r)$ 의 값은? ( 단,$ \textrm{P} (X=r) $ 은 $X=r$ 일 때의 확률이다. )

[해설] 

$X$ 는 이항분포 $B(n,\,p)$ 를 따른다.

$E(X)=np=80$,  $V(X)=np(1-p)=64$

연립하면 $\therefore \; p=\displaystyle\frac{1}{5}, \;\;n=400$

$\displaystyle\sum_{r=0}^n 5^r \cdot \textrm{P} (X=r)=\left( 5\times\frac{1}{5}+\frac{4}{5} \right)^{400}=\left( \frac{9}{5} \right)^{400}$

 

 

 

 

Example 2

주사위를 10회 던져 3의 배수의 눈이 $k$ 번 나오면 $4^k$ 의 상금을 받는다고 할 때, 상금의 기댓값을 구하여라.

[해설] 

상금을 확률변수 $X$ 라 하면 확률변수 $X$ 는 이항분포 $B \left( 20, \, \displaystyle\frac{1}{3} \right)$ 을 따른다.

기댓값 $ E(X)=\left( 4\times \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{2}{3} \right)=2^{10}=1023$ (원)

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법