주기를 갖는 수열의 점화식

주기를 갖는 수열의 귀납적 정의

$a_{n+2}-2(\cos \theta ) a_{n+1}+a_{n}=0$ 이고 $m \theta = 2\pi\; (0< \theta < \pi )$ 이면

 

수열 $\left\{a_n\right\}$은 $m$ 개의 항이 주기적으로 나타난다.

 

[증명]은 고등학교 과정을 훨씬 뛰어넘기 때문에 생략하기로 한다. 활용에 중점을 두기로 한다.

 

 

Example 1

 

수열 $\left\{a_n\right\}$은 $a_1 =9,$  $a_2 = 3$ 이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 

$$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$$

을 만족시킨다. $|\,a_k\,|=3$ 을 만족시키는 100이하의 자연수 $k$의 값을 구하시오.[2021년 6월 평가원]

 

[풀이]

$a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n}=0$에서 $\cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$,  $\theta=60^{\circ}$

$60^{\circ}\times 6= 360^{\circ}$ 이므로 주기는 6이다.

수열 $\left\{a_n\right\}$은 9,3,-6,-9,-3,6,9,3,6, $\cdots$ 가 반복된다.

따라서 $\left\{ |\,a_n\, |\right\}$는 9,3,6,9,3,6, $\cdots$ 3개씩 반복된다.

$a_2 , a_5 , a_8 , \cdots , a_{98}$에서 3이 된다.

따라서 $k$의 개수는 33개이다.

 

 

Example 2

 

수열 $\left\{a_n \right\}$이 $a_1 =1$,  $a_2 =2$,   $a_{n+2} = \sqrt{2} a_{n+1}-a_n \;(n=1,2, \cdots )$과 같이 정의 될 때,  $\displaystyle\sum_{k=1}^{50} a_k$ 의 값은?

 

[풀이]

 $a_{n+2} - \sqrt{2} a_{n+1}+a_n =0$에서 $\cos \theta = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$   $\therefore\; \theta=45^{\circ}$이므로 다음과 같은 8개 항이 반복된다.

$$1,\,2, \,2\sqrt{2} -1,\, 2-\sqrt{2},\, -1,\, -2,\, 1-2\sqrt{2},\, -2+\sqrt{2} $$

$8$개의 항의 합이 $0$ 이므로 

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{50}a_k=\displaystyle\sum_{k=1}^{48}a_k +1+2=3$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

$$a_{n+1}=\frac{ka_n -1}{a_n}$$ 또는 $$a_{n+1}=\frac{-1}{a_n +k}$$  $\cos \theta = \displaystyle\frac{|\,k\,|}{2}$ 을 만족하는 $\theta$ 가 $m \theta =180 ^{\circ}\;(0^{\circ}<\theta<90^{\circ})$ 이면 수열$\left\{ a_n \right\}$은 $m$개의 항이 주기적으로 나타난다.

 

Example 3

 

수열 $\left\{a_n \right\}$은 $a_3 =5$,  $a_{n+1} + \displaystyle\frac{1}{a_n}+1=0\;(n=0,1,2, \cdots )$과 같이 정의 될 때,  $a_{300}$ 의 값은?

 

[풀이]

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{-a_n -1}{a_n}$에서 $\cos \theta = \displaystyle\frac{|\,-1\,|}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}$   $\therefore\; \theta=60^{\circ} (0^{\circ}<\theta < 90^{\circ})$

한편, $3 \times 60^{\circ}=180^{\circ}$이므로 $3$개의 항이 반복된다.

$$\therefore \; a_{300}=a_{3 \times 100} =a_3 =5$$

 

 

Example 4

 

수열 $\left\{a_n \right\}$은  $a_{n+1} + \displaystyle\frac{1}{a_n +1}=0\;(n=0,1,2, \cdots )$과 같이 정의 될 때,  $a_{2020}-a_{2023}$ 의 값은?   ( 단, $a_n +1 \neq 0$ )

 

[풀이]

$a_{n+1}=\displaystyle\frac{-1}{a_n +1}$에서 $\cos \theta =\displaystyle\frac{1}{2}$   $\therefore\; \theta=60^{\circ} (0^{\circ}<\theta < 90^{\circ})$

한편, $3 \times 60^{\circ}=180^{\circ}$이므로 $3$개의 항이 반복된다.

$$\therefore \; a_{2020}-a_{2023}=a_{3 \times 673+1}-a_{3 \times 674+1} =a_1 - a_1 =0$$