등비수열의 역수의 합 공식
등비수열 $\left\{a_n\right\}$에서 첫째항부터 제$n$항 까지 합을 $S_n$, 역수의 합을 $T_n$이라 하면
$$\frac{S_n}{a_1}=a_n T_n$$이 성립한다.
등비수열의 역수의 합의 문제는 기본적으로 복잡하다. 기억에해 두면 시간을 효과적으로 줄일 수 있습니다.
[증명]
\begin{align}
\frac{S_n}{a_1}&=\frac{a_1 +a_2 + a_3 +\cdots + a_n}{a_1}\\
&=\frac{a_1 +a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}}{a_1} \\
&=1+r+r^2 + \cdots + r^{n-1} \tag{1}
\end{align}
\begin{align}
a_n T_n &= a_1 r^{n-1} \left( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}\right) \\
&=a_1 r^{n-1} \left( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1 r}+\frac{1}{a_1 r^2}+\cdots+\frac{1}{a_1 r^{n-1}}\right) \\
&=r^{n-1}+ r^{n-2}+ r^{n-3}+ \cdots +r^2 +r +1 \tag{2}
\end{align}
(1), (2)에서 $\displaystyle\frac{S_n}{a_1}=a_n T_n$ 가 성립한다.
Example 1
등비수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대하여 첫째항부터 제$n$항 까지 합을 $S_n$ ,역수의 합을 $T_n$ 이라 하면 $S_{10} = 256$, $T_{10} = 4$ 가 성립할 때, $a_1 a_{10} $의 값은?
[solve] $\displaystyle\frac{S_{10}}{a_1}=a_{10} T_{10}$에서
$$\therefore \;a_1 a_{10}=\frac{S_{10}}{T_{10}}=\frac{256}{4}=54$$
Example 2
등비수열 $\left\{ a_n \right\}$에 대하여 $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}=\frac{31}{16},\;\; \frac{1}{a_2 a_4}=\frac{1}{4}$$ 일 때, $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 $의 값은?
[solve] 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$, 역수의 합을 $T_n$이라 하면
$\displaystyle\frac{S_{5}}{a_1}=a_{5} T_{5}$에서
\begin{flalign}
S_5 &= a_{1}a_5 T_5=(a_3 )^2 T_5 \\
&=4 \times \frac{31}{16} = \frac{31}{4} \left( \because a_2 a_4 = (a_3)^2 = 4 \right)
\end{flalign}
Example 3
수열 $\left\{ a_n \right\}$은 첫째항이 양수이고 공비가 1보다 큰 등비수열이다. $a_3 a_ 5 = a_1$이고, 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$, 역수의 합을 $T_n$이라 하면 $S_n = T_n$을 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하여라. [2011년 교육청]
[solve] (i) $a_3 a_5 = a_1$ 에서 $(a_4 )^2 = a_1 $, $(a_1 r^3 )^2 =(a_1 )^2 r^6 =a_1$
$$\therefore\;\;a_1 = r^{-6}$$
(ii) $\displaystyle\frac{S_n}{a_1}=a_n T_n$ 에서 $S_n = T_n$이므로 $a_1 a_n =1$
$a_1 \cdot a_1 r^{n-1}=1$, $(a_1 )^2 r^{n-1} =1$
(i), (ii)에서 $(r^{-6})^2 r^{n-1}=1 $ , $r^{n-13}=1$ $\therefore\;\; n=13$