삼각형의 넓이(신발끈 공식 유도)

좌표평면에서 삼각형의 넓이

좌표평면 위의 세 점 $(x_1 , y_1),\;(x_2 , y_2),\;(x_3 , y_4) $으로 이루어진 삼각형의 넓이는 흔히 신발끈 공식을 사용한다.

세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $S$라 하면 

$$ S=\frac{1}{2}  \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 &y_1 \end{vmatrix} $$

계산은 사선방향으로 곱한 후 반대 방향의 곱을 빼주면 된다.

$$S=\frac{1}{2} \left| \;(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1)-(x_2 y_1 + x_3 y_2 + x_1 y_3)\;\right |$$

 

신발끈 공식을 유도해 보기로 한다.

 

 점과 직선과의 거리 공식 이용하는 방법

 

직선  $AB$의 방정식은

$$y=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x-x_1 )+y_1$$

정리하면

$$(y_2 -y_1)x-(x_2 - x_1 )y +x_2y_1 - x_1 y_2=0$$

점 $C$에서 직선 AB에 이르는 거리 $h$는

$$h=\frac{\left| \;(y_2 - y_1 ) x_3 -(x_2 - x_1)y_3 +x_2 y_1 - x_1 y_2 \;\right |}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$$

 

삼각형 $ABC$의 넓이 $S$는

$$S=\frac{1}{2} \overline{AB} \times h$$
$S=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(x_1 -x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $

        $\times \displaystyle\frac{\left| \;(y_2 - y_1 ) x_3 -(x_2 - x_1)y_3 +x_2 y_1 - x_1 y_2 \;\right |}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$

$=\displaystyle\frac{1}{2} \left| \;(x_2 y_1 + x_3 y_2 + x_1 y_3)-(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1)\;\right |$

$=\displaystyle\frac{1}{2}  \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 &y_1 \end{vmatrix}$

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법