같은 것을 포함하는 원순열의 개수

같은 것을 포함하는 원순열의 개수

흰 공$n$개, 검은 공 $m$ 개를 원형으로 배열하는 방법의 수

 

 

(1) 비대칭 원순열의 개수

 

$$\frac{(m+n)!}{m! \,n!}$$

 

Example 1

흰 공 2개, 검은 공 3개를 원형으로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

 

[해설]

비대칭 원순열이므로 $$\frac{5!}{3!\,2!} \times \frac{1}{5}=2$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

(2) 대칭 원순열의 개수

 

 

 

Example 2

흰 공 4개, 검은 공 2 개를 원형으로 배열하는 방법의 수는?

 

[해설]

비대칭인 경우와 대칭인 경우를 나누어서 생각한다.

$$\frac{1}{6}\left( \frac{6!}{4!\,2!}-\frac{3!}{2!\,1!} \right) =2$$	$$\frac{1}{3} \times \frac{3!}{2!\,1!}=1$$

$$2+1=3$$

 

대칭 구조는 한 쪽의 순환마디를 원형배열하면 대칭이 되는 반대쪽은 하나로 자동 결정된다.

 

 

Example 2

흰 공 3개, 검은 공 6 개를 원형으로 배열하는 방법의 수는?

 

$$\frac{1}{9}\left( \frac{4!}{3!\,6!}-\frac{3!}{2!\,1!} \right) +\frac{1}{3} \times \frac{3!}{2!\,1!}=10$$