삼각함수의 한 방에 떠먹여 드리겠습니다.

삼가함수 한 방 개념 정리

 

https://youtu.be/2NNaTSILJT8

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삼각함수 기본 성질.pdf

0.42MB

 

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1. 삼각함수의 정의

$x$축 양의 부분을 시초선, 동경 OP가 나타내는 일반각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, 동경 OP와 반지름의 길이가 $r$인 원의 교점을 $\textrm{OP} (x, y)$ 라 하면

 

$$\sin \theta = \frac{y}{r}\;\;\;\cos \theta = \frac{x}{r}\;\;\;\tan \theta = \frac{y}{x}$$라 정의한다.

 

 

앞서서도 자주 언급하지만 정의는 무조건 정확하게 받아들여야 한다. 약속의 출발이다. 명심하라. 잘못된 정의의 이해는 오류의 시작이 된다.

 

반대로, 반지름이 $r$ , 동경 $\theta$ 인 점의 좌표는 $(\cos \theta , \sin \theta)$ 이다.

특히, 반지름인 1 원(단위원이라 한다.)이면 $x$ 좌표가 바로 $\cos \theta$, $y$ 좌표가 $\sin \theta$ 가 된다. 

한편, 원점과 점 P를 이은 직선의 기울기는 

$$\frac{y-0}{x-0}=\frac{y}{x}=\tan \theta$$ 이는 앞으로 $\tan$ 는 기울기와 동일한 개념으로 활용된다는 것을 알 수 있다. 

$$\tan \theta=\frac{\displaystyle\frac{y}{r}}{\displaystyle\frac{x}{r}}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

 

$$\sin ^2 \theta + cos ^2 \theta = \left ( \frac{y}{r} \right)^2 +  \left ( \frac{x}{r} \right)^2 = \frac{x^2 +y^2}{r^2}$$

여기서, $\overline{\textrm{OP}}^2 = x^2 + y^2 = r^2$ 이므로

$$\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$$이 성립한다.  

 

자유롭게 변형할 수 있어야한다.

$$\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$$

$$\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$$

 

 

중학교때 배웠던 삼각비를 점검해 보자.

 

삼각비의 정의

직각삼각형 ABC에서 각 C가 직각이고 각 B를 $\theta$ 라 할 때, 

 $$\sin \theta =\frac{b}{c}\;\;\; \cos \theta =\frac{a}{c} \;\;\; \tan \theta =\frac{b}{a} $$라 정의 한다.

 

반드시 알아 두어야 할 필수 삼각비

$\theta$	$0 ^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$
$\sin \theta$	$0$	$\displaystyle\frac{1}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos \theta$	$1$	$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle\frac{1}{2}$	0
$\tan \theta$	$0$	$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	none

 

 

상당히 많은 학생들이 삼각비와 삼각함수를 구분하지 못하는 경우가 많다. 삼각비는 직각삼각형에서 정의된다. $\theta$ 가  $0<\theta < \pi$ 의 값을 갖고 반드시 양수값만 갖는다.  그에 비해 삼각함수는 임의의 각에서 대해서도 그 값을 정의 할 수있다. 삼각비는 직각삼각형에서의 길이의 비이고 삼각함수는 원 위의 좌표의 값이다. 다시말해 좌표평면에 어떤 점이 주어지면 반드시 삼각함수의 값은 하나로 정해진다. 

 

삼각함수는 좌표다.

 

 

2. 삼각함수의 부호

$\cos$ 은 $x$ 좌표 , $\sin$ 은 $y$ 좌표, $\tan $ 는 기울기 이므로

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$
1사분면	$+$	$+$	$+$
2사분면	$+$	$-$	$-$
3사분면	$-$	$-$	$+$
4사분면	$-$	$+$	$-$

제1사분면부터 반시계방향으로 "얼(all) $\to$ 싸(sin) $\to$ 탄(tan) $\to$  코(cos)"로 암기한다.

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

개념체크 1

 

원점  O 와 점 P$(-4, -3)$을 잇는 선분 OP를 동경으로 하는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ 의 값을 구하여라.

 

정의에 충실히 따르면 된다.

[해설] OP$=\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 }=5$ 이므로

$$\sin \theta = \frac{-3}{5}$$

$$\cos \theta = \frac{-4}{5}$$

$$\tan \theta = \frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$$

 

개념체크 2

 

  $\theta$ 가 3사분면 각이고 $\cos \theta = -\displaystyle\frac{12}{13}$ 일 때, $\sin \theta$, $\tan \theta$ 의 값을 구하여라.

 

[해설] 반지름 $r=13$인 원에서 $x$ 좌표가 $-12$라 하면 $y$ 좌표는 $-5$ 가 된다.

삼각비를 이용하여 좌표를 구해도 된다.(그림을 그려서 구할 것)

 $$\sin \theta =\frac{-5}{13},\;\; \tan \theta = \frac{5}{12}$$

 

 

개념체크 3

 

$(1- \sin ^2 \theta )(1+ \tan ^2 \theta)$ 의 값을 구하여라.

 

[해설] $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ 을 이용한다.(곱셈공식 활용)

$(1- \sin ^2 \theta )(1+ \tan ^2 \theta)$

$=\cos^2 \theta \times  \left (1+ \displaystyle\frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} \right )$

$=\cos^2 \theta + \sin ^2 \theta =1$

 

 

개념체크 4

 

$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{4}$ 일 때,   $\sin \theta - \cos \theta$ 의 값은?

 

[해설] $\sin  \theta \pm \cos  \theta =k$ 은 일단 제곱하라.

$(\sin \theta + \cos \theta )^2= 1+2 \sin \theta \cos \theta=\displaystyle\frac{1}{16}$

  $\therefore \; 2\sin \theta \cos \theta = -\displaystyle\frac{30}{32}$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 $

$=1-2\sin \theta \cos \theta $

$=1-\left(- \displaystyle\frac{30}{32} \right )  =\displaystyle\frac{31}{16}$

$\therefore \;\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\displaystyle\frac{31}{16}}=\pm \displaystyle\frac{31}{4}$

 

 

3.삼각함수의 성질

주기공식 ($n$은 정수)  $\sin (2n \pi \pm \theta ) = \sin \theta$   $\cos (2n \pi \pm \theta ) = \cos \theta$  $\tan (2n \pi \pm \theta ) = \tan \theta$	음각공식  $\sin (-\theta ) = -\sin \theta$  $\cos (-\theta ) = \cos \theta$   $\tan (- \theta ) = -\tan \theta$
$\displaystyle\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta$ 꼴의 삼각함수
$\sin \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\cos \theta$  $\cos \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\sin \theta$  $\tan \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$	$\sin \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta \right)=\cos \theta$ $\cos \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta \right)=-\sin \theta$ $\tan \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=-\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$
$\sin(\pi - \theta)=\sin \theta$ $\cos(\pi - \theta)=-\cos \theta $ $\tan(\pi - \theta)=-\tan \theta$	$\sin(\pi + \theta)=-\sin \theta$ $\cos(\pi + \theta)=-\cos \theta$ $\tan(\pi + \theta)=\tan \theta$
$\sin \left( \displaystyle\frac{3}{2}\pi-\theta \right)=-\cos \theta$ $\cos \left( \displaystyle\frac{3}{2}\pi-\theta \right)=-\sin \theta$ $\tan \left( \displaystyle\frac{3}{2}\pi-\theta \right)=\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$	$\sin \left( \displaystyle\frac{3}{2}\pi+\theta \right)=-\cos \theta$ $\cos \left( \displaystyle\frac{3}{2}\pi+\theta \right)=\sin \theta$ $\tan \left( \displaystyle\frac{3}{2}\pi+\theta \right)=-\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$

 

경고!  절대 이 표를 외우려는 무모한 짓을 하면 안된다.

[설명] 단위원 위에서 일반각이 $\theta$인 점의 좌표는 $(\cos \theta , \sin \theta)$ 이다.

         명심하라. 삼각함수는 좌표에서 출발했다.

(1) 주기공식

     $2n \pi \pm \theta$ 와 $\theta$ 가 나타내는 동경은 일치한다. 따라서 단위원 위의 두 점의 좌표는 일치한다.

 

(2) 음각공식

  $\left (\cos \theta, \sin \theta \right)$ 와 $\left (\cos (-\theta), \sin (-\theta) \right)$ 는 $x$ 축 대칭이다.\begin{align}  \cos (-\theta) &=
\cos \theta \\  \sin (-\theta)&=-\sin \theta \\ 
\tan (-\theta) &=\displaystyle\frac{\sin (-\theta)}{\cos (-\theta)} \\
&=\displaystyle\frac{-\sin \theta}{\cos \theta} \\
&=-\tan \theta
\end{align}

(3) $\pi + \theta$ 의 삼각함수

 

두 점 $\left( \cos \theta, \sin \theta \right)$ 와 $\left( \cos (\pi + \theta), \sin(\pi + \theta) \right)$ 는 서로 원점 대칭 관계이다.

   $\sin(\pi + \theta)=-\sin \theta$
$\cos(\pi + \theta)=-\cos \theta$

\begin{align} \tan(\pi + \theta)&=\displaystyle\frac{\sin (\pi + \theta)}{\cos (\pi+\theta)}\\
&=\displaystyle\frac{-\sin \theta}{-\cos \theta)} \\
&=\tan \theta 
\end{align}

 

(3) $\pi - \theta$ 의 삼각함수

 

두 점 $\left( \cos \theta, \sin \theta \right)$ 와 $\left( \cos (\pi - \theta), \sin(\pi - \theta) \right)$ 는 서로 $y$ 축 대칭 관계이다.

$\sin(\pi - \theta)=\sin \theta$
$\cos(\pi - \theta)=-\cos \theta $
\begin{align} \tan(\pi - \theta)&=\displaystyle\frac{\sin (\pi - \theta)}{\cos (\pi-\theta)}\\
&=\displaystyle\frac{-\sin \theta}{-\cos \theta)} \\
&=-\tan \theta 
\end{align}

 

(4) $\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta$ 의 삼각함수

 

두 점 $\left( \cos \theta, \sin \theta \right)$ 와 $\left(\cos    \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta    \right),      \sin    \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta    \right)\right)$ 는 $y=x$ 에 대한 대칭이다.

$\sin \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\cos \theta$
 $\cos \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\sin \theta$
 $\tan \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta \right)=\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$

 

 

(4) $\displaystyle\frac{\pi}{2} + \theta$ 의 삼각함수

두 점 $\left( \cos \theta, \sin \theta \right)$ 와 $\left(\cos    \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta    \right),      \sin    \left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta    \right)\right)$ 는 서로 반시계방향으로 수직이다. 

$\sin \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta \right)=\cos \theta$
$\cos \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta \right)=-\sin \theta$
$\tan \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta \right)=-\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}$

 

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$\displaystyle\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta$ 꼴의 삼각함수 변환법

삼각함수의 각의 변환을 하기 위해서 매번 원을 그려서 확인 할 수 없기 때문에 아래와 같은 변환법을 사용한다. 

(1) 각을  $\displaystyle\frac{\pi}{2} \times n \pm \theta$ 또는  $ 90^{\circ} \times n \pm \theta$ 꼴로 변현한다.

(2) $n$ 이 짝수이면  그대로  $\sin \to \sin$,  $\cos \to \cos$,  $\tan \to \tan $

     $n$ 이 홀수이면  바꾼다   $\sin \to \cos$,  $\cos \to \sin$,  $\tan \to \displaystyle\frac{1}{\tan} $

(3) 삼각함수의 부호를 결정한다. 

 

$\displaystyle\frac{\pi}{2}  - $        1사분면	$\displaystyle\frac{\pi}{2} + $         2사분면
$\pi - $          2사분면	$\pi  + $          2사분면
$\displaystyle\frac{3\pi}{2} - $       3사분면	$\displaystyle\frac{3\pi}{2}  + $      4사분면

 $\theta$ 는 예각으로 간주하고 동경의 사분면의 위치를 결정하고 원래 함수의 기준으로 부호를 결정한다.

(간편하고 쉬운 내용이므로 동영상 강의를 참조하기 바란다.)

 

 

 

개념체크 5

 

  $ \displaystyle\frac{\sin(-\theta)}{\cos \left(   \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta\right)}- \displaystyle\frac{\cos(3\pi-\theta)\tan(\pi + \theta)}{\sin \left(   2\pi+\theta\right)}$ 간단하게 하여라.

 

 

[해설] 간편변환법을 이용하여 빠르게 간단한 꼴로 변형해준다.

$\sin (-\theta)=-\sin \theta$,  $\cos \left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+\theta \right)=-\sin \theta$

$\cos (3\pi- \theta)=\cos (\pi-\theta)=-\cos \theta$,  $\tan(\pi+\theta)=\tan \theta$

준식$=\displaystyle\frac{-\sin\theta}{-\sin \theta}-\displaystyle\frac{-\cos\theta\tan \theta}{\sin \theta}=1+1=2$

 

 

삼각함수의 그래프

 

(1) $y=\sin \theta$

 $\sin \theta $는 단위원에서 $y$ 좌표와 같다. $\theta$ 값을 변화시켜가면서 $y$좌표를 대응시키면 아래과 같은 곡선이 된다.

 

 

 

 

(2) $y=\cos \theta$

 $\cos \theta $는 단위원에서 $x$ 좌표와 같다. $\theta$ 값을 변화시켜가면서 $x$좌표를 대응시키면 아래과 같은 곡선이 된다.

 

  

 

 

(2) $y=\tan \theta$

 $\tan \theta $는 기울기와 같다. $\theta$ 값을 변화시켜가면서 기울기를 대응시키면 아래과 같은 곡선이 된다.

원점 대칭 관계인 제1, 3분면 위의 두 점의 기울기가 같다. 이때는 접선 $x=1$에서의 위 쪽의 길이가 $\tan \theta$ 가 된다.

원점 대칭 관계인 제2, 4분면 위의 두 점의 기울기가 같다. 이때는 접선 $x=1$에서의 아래 쪽 길이가 $\tan \theta$ 가 된다.

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법