알아두면 좋은 급수의 수렴 발산

   급수의 수렴 발산

기억해 두면 좋은 몇 가지 급수를 소개한다. 대학과정이 아닌 고등학교 과정에 설명이 가능한 것만 몇 가지 골라 보았다.  급수의 수렴 발산 결과 보다도 그것을 고교과정만으로 설명하는 데 중점을 두었다. 이러한 급수들은 정오문제에서 많은 활약을 할 수 있다.

 

Example 1

$\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$

[해설] 반드시 알아 두어야 할 최소한의 필수 문제이다.

\begin{flalign}

&\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots \\
&=\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \right )+\left (\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \right ) +  \\

&+\left (\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{16} \right )+\cdots \\

&>\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left (\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right )+\left (\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \right ) +\cdots \\
&+\left ( \frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16} \right ) \\
&=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots + \frac{1}{2}+\cdots  = \infty &&
\end{flalign}    $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 발산한다.

정적분을 이용해서 발산함을 보일 수 있다.

 

Example 2

$\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$

[해설] 유명한 바젤의 문제(Basel Problem)이다. 오일러가 매우 아름다운 방법으로 증명했다.
(가벼운) 증명을 해보자.

$n \geq 2$인 자연수 일 때,   $n^2 > n^2 -n $이므로

$\displaystyle\frac{1}{n^2}<\displaystyle\frac{1}{n^2 -n}=\displaystyle\frac{1}{n(n-1)}$ 가 성립한다.

\begin{flalign}

S_{n}&=\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{n^2} \\

&<1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} \\

&=1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\cdots+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right) \\

&=2-\frac{1}{n} <2 &&

\end{flalign}

$S_{n}$은 단조증가하고 $S_{n}<2$이므로   

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$은 수렴한다.

좀 더 정확하게는 $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$으로 수렴한다. 고교과정으로 증명은 대단히 어렵기 때문에 생략한다. 

필자는 처음 이 급수를 고등학교 1학년 때 보고 적잖은 고민을 했던 추억이 있다.

"왜 유리수를 더해서 무리수가 나오지?"  

 

Example 3

$\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\cdots$

[해설] 이 급수가 수렴함이 인간이 밝힌 것은 놀랍게도 근래이다. 1970년에 프랑스 수학자 아페리가 밝혀냈다.
(가벼운) 증명을 해보자.

$n \geq 2$인 자연수 일 때,   $n^3 > n^3 -n $이므로

$\displaystyle\frac{1}{n^3}<\displaystyle\frac{1}{n^3 -n}=\displaystyle\frac{1}{n(n-1)(n+1)}=\frac{1}{2}\left\{   \frac{1}{(n-1)n }  - \frac{1}{n(n+1) }        \right\} $ 이므로

\begin{flalign}

S_{n}&=\displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots +\frac{1}{n^3} \\

&<1+\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3 }+\frac{1}{2\cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5 \cdot 6}+\cdots+\frac{1}{(n-1) n (n+1)} \\

&=1+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3} \right )+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4 \cdot 5} \right)+\cdots \\

& \;\;\;\;\;\;\;\; \cdots+\frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)} \right\} \\
& =1+\frac{1}{2}\left \{ \frac{1}{2}-\frac{1}{n(n+1)} \right \} =\frac{5}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}<\frac{5}{4} &&

\end{flalign}
$S_{n}$은 단조증가하고 $S_{n}<\displaystyle\frac{5}{4}$이므로   

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$은 수렴한다.

 

Example 4

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\cdots$

[해설]  \begin{flalign}

S_{n}&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}} \\
&\geq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n} &&  
\end{flalign}     $\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\rm {S}_{n}=\infty$이므로  $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$은 발산한다.

 

 

Example 5

$\displaystyle\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots$

[해설]

\begin{flalign}

S_{n}&=\displaystyle\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!} \\
&< \displaystyle\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} \\

&=\frac{1-  \left (\displaystyle\frac{1}{2}  \right )^n            }{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=2-\left (  \frac{1}{2} \right )^{n-1} <2 &&  
 \end{flalign}    $S_{n}$은 단조증가하고 $S_{n}<2$이므로   
  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$은 수렴한다.