수학적 귀납법 | 정적분을 이용한 증명

$2$이상의 자연수 $n$에 대하여 다음부등식이 성립함을 증명하여라.

$$1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$$

수학적 귀납법으로 증명할 수 있지만 이 번 글에서는 정적분을 이용해서 기하학적 의미로 증명해보기로 하자.

\begin{align}

\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}&<1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x^{2}}dx \\

&<1+\left [ -\frac{1}{x} \right ]_{1} ^{n}=2-\frac{1}{n} 

\end{align}

 

$$ \int_{1}^{n}\frac{1}{x^{2}}dx+\frac{1}{n^2} <\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} $$
        여기서, $\displaystyle\int_{1}^{n}\frac{1}{x^{2}}dx =\displaystyle\left [ -\frac{1}{x} \right ]_{1} ^{n}=-\frac{1}{n}+1$ 이므로$$\therefore 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$$

정적분을 이용한 다른 방법으로 증명할 수 있다.

자연수 $k$에 대하여,  $ k \leq x \leq k+1$ 일 때 $\displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}\leq \displaystyle\frac{1}{x^2} \leq \displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}$ 이므로
$$\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}dx<\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{x^2}dx <\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{k^2}dx$$
$$\displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}<\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{x^2}dx <\displaystyle\frac{1}{k^2}$$ $$\sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\frac{1}{(k+1)^2}<\sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\int_{k}^{k+1}\displaystyle\frac{1}{x^2}dx <\sum_{k=1}^{n-1}\displaystyle\frac{1}{k^2}$$
$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} < \displaystyle\int_{1}^{n}\displaystyle\frac{1}{x^2}dx<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^2} $$

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} < 1-\frac{1}{n}<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^2} $$

$$\therefore\;\; 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$$

여기서 흥미로운 점은

$$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\left ( 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right )<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots<\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\left ( 2-\frac{1}{n} \right )$$

$$ 1<\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots<2$$

    $\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$ 은 단조증가하므로 수렴합니다.

    정확하게는 $\displaystyle\frac{{\pi}^2}{6}$로 수렴한다.(바젤의 문제)