자연상수 e의 극한값 계산

자연상수 e의 극한값 계산

자연상수 $e$의 정의는

$$ \displaystyle \lim_{ x\to 0}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}}=e $$

이다. 외울때는 "일영무" 꼴로 기억해 두시면 좋습니다.

$$ \displaystyle \lim_{ x\to 0}\left ( 1+f(x) \right )^{g(x)}=e^{\lim\limits_{ x\to 0}f(x)g(x)} $$

단, $\displaystyle \lim_{ x\to 0}f(x)=0$ 이고 $\displaystyle \lim_{ x\to 0} g(x)=\infty$

지수,로그의 성질을 이용해서 간단하게 설명할 수 있다.

$$ \square^{\triangle } =\left (  e^{\ln\square} \right )^{\triangle}=e^{\triangle \ln \triangle} $$

 

Example 1

$ \displaystyle \lim_{x \to 0}x^{\frac{1}{x-1}} $의 값은?

[solve]

\begin{align}

\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}&x^{\frac{1}{x-1}} \\

&=e^{ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln x}{x-1}} \;\; \rm (로피탈정리) \\

&=e^{ \lim\limits_{x \to 0}\frac{1}{x}}=e

 \end{align}

 

 

Example 2

함수 $f(x)=\left ( \displaystyle\frac{x}{x-1} \right )^{x}  \;(x>1)$에 대하여 $\displaystyle \lim_{ x\to 0}f(kx)$의 값은? (단, $k \geq 2$)

[solve] 
\begin{align}

\displaystyle &\lim_{ x\to \infty}f(kx) \\

&=e^ {\lim\limits_{ x\to \infty}\left ( \frac{kx}{kx-1} \right )^{kx}} \\

&= e^{\lim\limits_{ x\to \infty}\left ( 1+\frac{1}{kx-1} \right )^{kx}} \\

&=e^{{ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{kx}{kx-1}}}=e

\end{align}

 

 

 

 

Example 3

$ \displaystyle \lim_{x \to +0}x^{x} $의 값은?

[solve] 

\begin{align}

 \displaystyle &\lim_{x \to +0}x^{x} \\

&=e^{ \lim\limits_{x \to +0} x\ln x} \\

&=e^{ \lim\limits_{x \to +0}\frac{\ln x}{ \frac{1}{x}}} \\

&=e^{ \lim\limits_{x \to +0}\frac{\frac{1}{x}}{ -\frac{1}{x^2}}} \\

&=e^{ \lim\limits_{x \to +0}(-x)} =e^0 =1\\
\end{align}