적분 점화식 정리

    적분 점화식

(1)  $I_{n}=\displaystyle\int \sin ^{n} x dx$

\begin{flalign}

I_{n}&=\int \sin ^{n} x dx = \int \sin ^{n-1} x\sin x dx = \int \sin ^{n-1} x(-\cos x) dx \\

&=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x \cos^{2} x dx \\

&=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x (1-\sin^{2} x)x dx \\ 

&=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin ^{n-2} x dx -  (n-1)\int \sin ^{n} x dx \\
&=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)I_{n-2} -  (n-1)I_{n} &&

\end{flalign}

$$ I_{n}=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)I_{n-2} -  (n-1)I_{n}$$

$$ nI_{n}=-\sin^{n-1} x \cos x + (n-1)I_{n-2} $$

$$ \therefore  I_{n}=-\frac{1}{n}\sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n}I_{n-2} $$

 

(2)  $I_{n}=\displaystyle\int \cos ^{n} x dx$

\begin{flalign}

I_{n}&=\int \cos ^{n} x dx = \int \cos ^{n-1} x\cos x dx = \int \cos ^{n-1} x(\sin x) dx \\

&=\cos^{n-1} x \sin x + (n-1)\int \cos ^{n-2} x \sin^{2} x dx \\

&=\cos^{n-1} x \sin x + (n-1)\int \cos ^{n-2} x (1-\cos^{2} x)x dx \\ 

&=\cos^{n-1} x \sin x + (n-1)\int \cos ^{n-2} x dx -  (n-1)\int \cos ^{n} x dx \\
&=\cos^{n-1} x \sin x + (n-1)I_{n-2} -  (n-1)I_{n} &&

\end{flalign}

$$ I_{n}=\cos^{n-1} x \sin x + (n-1)I_{n-2} -  (n-1)I_{n}$$

$$ nI_{n}=\cos^{n-1} x \sin x + (n-1)I_{n-2} $$

$$ \therefore  I_{n}=-\frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n}I_{n-2} $$

(3) $ I_{n}=\displaystyle \int (\ln x) ^{n} x dx$

\begin{flalign}

I_{n}&=\int (\ln x) ^{n}  dx = \int (x)' (\ln x) ^{n}  dx \\

&=x (\ln x) ^{n}   - \int x \cdot n (\ln x) ^{n-1}\cdot \frac{1}{x}  dx \\

&=x (\ln x) ^{n}   - n\int  (\ln x) ^{n-1}dx \\

&=x (\ln x) ^{n}   - nI_{n-1} &&
\end{flalign} $$ \therefore  I_{n}=x (\ln x) ^{n}   - nI_{n-1} $$

(4) $I_{n}=\displaystyle\int \sin ^{n} x dx$

\begin{flalign}
I_{n}&=\displaystyle \int x ^{n} e^{x} =\displaystyle \int x ^{n} (e^{x})'dx \\
&=x ^{n}e^{x}   - n\int x^{n-1} e^x dx \\
&=x ^{n}e^{x}   - nI_{n-1} &&
\end{flalign}$$ \therefore  I_{n}=x ^{n}e^{x}   - nI_{n-1} $$

 

(5) $I_{n}=\displaystyle\int \tan ^{n} x dx$

\begin{flalign}
I_{n}&=\int \tan ^{n} x dx = \int \tan ^{n-2} x\tan^{2} x dx \\
&= \int \tan ^{n-2} x(\sec ^{2} x -1) dx \\
&= \int \tan ^{n-2} x \sec ^{2} x dx -\int \tan ^{n-2} x  dx \\
&= \int \tan ^{n-2} x (\tan x)' x dx -I_{n-2} \\
&=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1} x -I_{n-2} &&
\end{flalign} $$ \therefore  I_{n}=\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1} x -I_{n-2} $$