직선으로 나누어진 두 도형의 넓이의 합의 최소

    직선으로 나누어진 두 도형의 넓이의 합의 최소 

일대일대응인 함수 $y=f(x)$와 직선 $x=k\;(a<k<b)$로 둘러싸인 넓이의 합 $S_{1}+S_{2}$는  $f(k)=\displaystyle\frac{f(a)+f(b)}{2}$일 때 최솟값을 갖는다.

$k=\displaystyle\frac{a+b}{2}$가 아님에 주의한다.

[증명] 증가함수인 $f(x)$와 직선 $x=k$로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 $S_{1}, S_{2}$라 하고

$g(k)=S_{1}+S_{2}$라 하면

$$g(k)=\displaystyle \int_{a}^{k}\left\{f(x)-f(a) \right\}dx+\displaystyle \int_{k}^{b}\left\{f(b)-f(x) \right\}dx$$

양변을 $k$로 미분하면

\begin{align}

g'(k)&=f(k)-f(a)-\left\{ f(b)-f(k)\right\} \\

&=2f(k)-\left\{ f(a)+f(b)\right\} \\

&=2\left\{f(k)- \frac{f(a)+f(b)}{2}\right\}=0 

\end{align}

함수 $g(k)$는 $f(k)=\displaystyle\frac{f(a)+f(b)}{2}$일 때,

극솟값을 갖고 그 때 최솟값을 갖는다.

[참고] 반대로 $y=k$로 나누어진 경우는

$f^{-1}(k)=\displaystyle\frac{f^{-1}(a)+f^{-1}(b)}{2} \; (a\leq y \leq b)$일 때, 

나누어진 두 영역의 합이 최소가 된다.

Exmaple 1

그림과 같이 두 함수 와 두 직선 $y=x^2$, $x=k$로 둘러싸인 두 영역을 $S_{1}, S_{2}$라 할 때, $S_{1}+S_{2}$의 넓이가 최소가 되도록 하는 양수 $k$의 값은?

[해설] $f(x)=x^2$이라 하면 $f(k)=\displaystyle\frac{f(0)+f(2)}{2}=2$

$k^2 =2$에서 $\therefore k=\sqrt{2}$

 

 

 

Exmaple 2

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 내부에 반지름이 1인 원이 있다. 직선 $y=k$로 나누어진 어두운 부분의 넓이의 합이 최소가 될 때, 상수 $k$의 값을 구하여라.

[해설]

$x=\displaystyle\frac{1}{2}$일 때, 합이 최소가 되므로 $\therefore \;k=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Exmaple 3

그림과 같이 $y=\sin x \; \left (0 \leq x \leq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right )$와 $y$축, $x=\displaystyle\frac{\pi}{2}$로 둘러싸인 도형을 직선 $y=k$가 어두운 두 영역으로 나눌 때,  나누어진 두 도형의 넓이의 합의 최솟값을 구하여라.

[해설]

$x=\displaystyle\frac{\pi}{4}$에서 합이 최소가 되므로 $\therefore \; k=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

 

Exmaple 4

함수 $f(k)=\displaystyle\int_{1}^{2} \left | \; \ln x -k\; \right | dx$가 최소가 될 때, $k$의 값을 구하여라.

[해설] 함수 $f(x)$는 $y=\ln x$와 직선 $y=k$로 둘러싸인 부분의 넓이의 최소를 나타내는 함수이다.

$g(x)=\ln x$라 하면 $g^{-1}(x)=e^x$이므로

$e^{k}=\displaystyle \frac{1+e}{2}$에서 최소를 갖는다.

$\therefore k=\ln {\displaystyle\frac{1+e}{2}} $