틀을 깨는 기발한 수학

평균값 정리를 이용한 복잡한 합성함수의 극한 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$에서 연속이고 열린구간 $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\alpha$이면 $$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left(h(x)\right)-f\left(g(x)\right)}{h(x)-g(x)}=f'(\alpha)$$ 가 성립한다. 평균값정리 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[\,a,b\,\right]$에서 열린구간 $\left(a,b\right)$에서 미분가능할 ..

편미분을 이용한 음함수의 미분법 교과서에 나오는 음함수 미분법과는 약간 다른 방법이다. 익숙해지면 계산 과정을 줄일 수 있다. 음함수 $f(x,y)=0$에서 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x 로\; 미분\; (y는 \;상수 \;취급)}{y로\; 미분\;(x는 \;상수 \;취급)}$$ 편미분 기호를 사용하면 아래와 같다. $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}}$$ 간단한 예를 들어 비교해보자. Example 1 곡선 $x^2 + xy + y^2 =7$ 에서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$을 구하여라. [풀이1] $\di..

이계도함수 미분법 매개변수 미분법을 이용한 이계도 함수 미분법을 소개한다. 먼저 매개변수 미분법은 다음과 같다. $x,\, y$가 $t$에 대한 식일 때, $$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}$$ 이제 $y$를 $x$에 대한 이계도함수를 구해보자. \begin{align} \displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}&=\displaystyle\frac{d}{dx} \left( \displaystyle\frac{dy}{dx} \right) \\ &=\displaystyle\frac{dt}{dx} \cdot \displaystyle\frac{d}{dt} \left( \displaystyle\fr..

절댓값을 포함한 함수의 미분가능성 미분가능한 함수 $f(x),g(x)$에 대하여 함수 $f(x) \left | (x-a)g(x) \right | $ (단, $g(a)\neq 0$)가 $x=a$에서 미분가능하기 위해서는 $f(a)=0$이어야 한다. 함수 $|\,x\,|$는 $x=0$ 에서 미분가능하지 않다. $x=0$에서 미분이 가능하게 하기 위한 가장 간단한 방법은 $x$를 곱해주면 된다. 이를 응용해 나간 것이 이 번 글의 주제가 된다. $\boxed{\textrm{Proof}}$ $h(x)=f(x) \left | (x-a)g(x) \right |$ 라 하면 \begin{align} h'(a)&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{h(x)-h(a)}{x-a} \\ &=\lim_{x \ri..

절댓값을 포함한 함수의 미분가능성 함수 $\left | f(x) - f(a) \right |$ 는 함수 $y=f(x)$ 와 직선 $y=f(a)$ 의 함숫값의 차이를 나타내는 함수이다. 따라서 두 함수가 만나는 교점에서 $y=\left | f(x) - f(a) \right |$ 는 $x$ 축과 만나게 되고 그 점에서 극소가 된다. 함수 $\left | f(x) - f(a) \right |$ 의 그래프는 $y=f(x)$와 직선 $y=f(a)$와 교점에서 $t=f(x)$ 의 그래프가 직선 $y=f(a)$ 위로 꺽여 올라가므로 두 함수가 어떤 형태로 만나냐에 따라 미분가능성이 결정된다. 직선 $y=f(a)$ 가 함수 $y=f(x)$를 (접통하지 않고 )관통하면 그 점에서 미분 가능하지 않게 된다. 반대로 직선 ..

$y=\left | \; f(x)-t \; \right |$ 의 그래프의 개형 직선 $y=t$ 의 아래 부분을 꺾어 위로 올려준 꼴이다. 다른 표현으로 함수 $\left | \; f(x)-t \; \right |$ 의 그래프는 함수 $y=f(x)$ 와 함수 $y=t$ 의 함숫값의 차이를 나타내는 함수이다. 두 함수가 만나는 교점이 $x$ 축과 만나게 되고 그 점에서 극소가 된다. 함수 $\left | \; f(x)-t \; \right |$ 함수는 직선 $y=t$ 와 교점에서 꺽여 올라가기 때문에 두 함수가 만나는 교점이 어떤 형태로 만나야에 따라 미분 가능 여부가 결정되게 된다. 직선 $y=t$ 가 $y=f(x)$를 뚫고 지나가면(접하지 않고) 그 점에서는 미분이 가능하지 않게 된다. 반대로 $y=t$..

■ 절대값을 포함한 함수의 미분가능성 미분가능한 $f(x)$ 에 대하여 함수 $\left | f(x) \right |$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하기 위해서는 함수 $f(x)$는 $x$ 축에 만나지 않거나 $x$ 축과 만나지 않거나 또는 $x$ 축에 접해야한다. 절댓값을 포함한 함수는 기본적으로 그래프를 꺽어 올려버리는 성질을 가지고 있기 때문에 미분가능 문제와 궁합이 잘 맞을 수 밖에 없다. 미분가능한 함수 $f(x)$가 함수 $\left | f(x) \right |$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하기 위해서는 (1) $f(x)$가 $ x$ 축과 만나지 않는다. $\Rightarrow$ $f(a)\neq0$ (2) $x$ 축에 접해야 한다. $\Rightarrow$ $f(a)=0$ 이면 $ f'(a)=..

삼차함수 비율관계 실전 활용 삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이고 위의 그림과 같은 비율 관계가 성립한다. 증명은 이전 글을 참고하세요. 이번 글에서는 삼차함수의 비율관계를 실제 문제 속에서 활용하는 방법에 중점을 두기로 한다. Example 1 삼차함수 $f(x)=x^3 + ax^2 + bx$의 극댓값이 $4$ 이고 극솟값이 $0$ 일 때, $f(2)$의 값은? [풀이] $x=t$에서 극댓값을 갖는다고 하면 $x=3t$에서 극솟값을 가져야 한다. $f(x)=x(x-3t)^2$ 에서 $f(t)=4t^3 =4$ $\therefore \; t=1$ $\therefore \; f(2)=2$ [다른풀이] $f(t)-4=(x-t)^2 (x-4t)$로 놓을 수 있다. $f(0)=4-4t^3=0$ 에서 $\therefo..

빈출 분수함스 그래프 분석 $$y=\displaystyle\frac{b}{x^2 + a} \; (a>0, b>0)$$ (1) 우함수($y$축 대칭)이다. (2) $x$ 축을 점금선으로 갖는다. (3) $x=0$ 에서 극댓값을 갖는다. (4) $x=\pm \sqrt{\displaystyle\frac{a}{3}}$ 에서 변곡점을 갖는다. 적어도 그래프 개형 정도는 기억해두면 좋다. 나머지 성질은 덤이다. 참고로, $y=e^{-kx^2} (k>0)$ 도 종-모양(bell-curved) 그래프이다. $\to$ 정규분포곡선의 함수꼴이다. $x=\pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}k}$ 에서 변곡점을 갖는다. [증명] 1. $f(-x)=\displaystyle\frac{b}{(-x)^2 +..

빈출 분수함수 그래프 개형 분석 $$y=\frac{bx}{x^2 +a} (a>0, b>0)$$ 기함수(원점대칭)이다. $x=\pm \sqrt{a}$ 에서 극값을 갖는다. 원점 및 $x=\pm \sqrt{3}a$에서 변곡점을 갖는다. $y$ 축을 점근선으로 갖는다. [증명] $f'(x)=\displaystyle\frac{b(x^2 +a)-bx(2x)}{(x^2 +a)^2}=\displaystyle\frac{-b(x^2 -a)}{(x^2 +a)^2}=0$ 에서 $x=\pm \sqrt{a}$에서 극값을 갖는다. \begin{flalign} f''(x)&=\displaystyle\frac{(-2bx)(x^2 +a)^2-(-bx^2 +ab)\cdot 2(x^2 +a)\cdot 2x}{(x^2 +a)^4} \\ &..