절대값을 포함한 함수의 미분가능 1

■ 절대값을 포함한 함수의 미분가능성

미분가능한 $f(x)$ 에 대하여  함수 $\left | f(x) \right |$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하기 위해서는 함수 $f(x)$는 $x$ 축에 만나지 않거나 $x$ 축과 만나지 않거나 또는 $x$ 축에 접해야한다.

 

절댓값을 포함한 함수는 기본적으로 그래프를 꺽어 올려버리는 성질을 가지고 있기 때문에 미분가능 문제와 궁합이 잘 맞을 수 밖에 없다. 

 

미분가능한 함수 $f(x)$가 함수 $\left | f(x) \right |$ 가 $x=a$ 에서 미분가능하기 위해서는

(1) $f(x)$가 $ x$ 축과 만나지 않는다.  $\Rightarrow$   $f(a)\neq0$

(2) $x$ 축에 접해야 한다.  $\Rightarrow$  $f(a)=0$ 이면  $ f'(a)=0$

 

$f(x)$가 다항함수인 경우,  $x$ 축에 접하기 위해서는 $f(x)$는 $(x-a)^n (n \geq 2)$ 의 인수를 반드시 가지고 있어야 한다. 만약 $(x-a)$ 인수만 가지고 있는 경우에는 함수 $f(x)$ 는  $x$축을 관통하게 되고 함수 $\left | f(x) \right |$ 는 $x$ 축에서 꺽여 올라가기 때문에 미분이 가능하지 않게 된다.

 

[증명] (2)번 조건

$f(a)=0$ 일 때, $h(x)=\left | f(x) \right | $ 라 하면

\begin{align}
h'(a)&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{h(x)-h(a)}{x-1}\\
&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{\left| \;f(x)\;\right|}{x-1}\\
&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{\left| \;f(x)-f(a)\;\right|}{\left| \;x-a\;\right|}\cdot\frac{\left| \;x-a\;\right|}{x-a}\\
\end{align}

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow a+}\left|  \frac{f(x)-f(a)}{x-1}     \right|\cdot \frac{x-a}{x-a}=\left | f'(a) \right | \tag{a}$$ $$\displaystyle\lim_{x \rightarrow a-}\left|  \frac{f(x)-f(a)}{x-1}     \right|\cdot \frac{-(x-a)}{x-a}=-\left | f'(a) \right | \tag{b}$$

$(a)=(b)$이어야 미분가능하므로 

$$\left | f'(a) \right |= -\left | f'(a) \right | \;\; \therefore \; f'(a)=0$$

 

 

Example 1

함수 $f(x)$ 가 $\left| \;(x-1)(x-2)(x^2 + ax + b\; \right|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하여라.

[풀이] 함수 $f(x)$ 는 이미 $x-1, x-2$ 를 인수로 가지고 있으므로 $x^2 + ax +b $는 반드시 $x-1, \;x-2$ 를 인수로 가지고 있어야 한다.

$$x^2 + ax + b = (x-1)(x-2) \;\; \therefore \; a=3, b=2$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

Example 2

함수 $f(x)=\left | \; 2x^3 + ax^2 \; \right |$ 가 실수 전체의 집합에서 미분 가능할 때, 상수 $a$ 의 값을 구하여라.

[풀이]  $f(x)=\left | \; 2x^3 + ax^2 \; \right |=\left | \; x^2 (2x+a) \; \right |$ 에서 

이미 $x=0$ 에서 미분이 가능하므로 $x=-\displaystyle\frac{a}{2}=0$ 이어야 한다.

$$-\frac{a}{2}=0 \;\; \therefore \; a=0$$

만약 $a\neq 0$ 이면 $x$ 는 $-\displaystyle\frac{a}{2}$ 에서 미분 가능하지 않게 된다.  

 

 

 

 

 

 

Example 3

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에서 $ \left | \; f(x) \; \right |$ 은 $x=2$ 에서 극값을 갖고 $x=1,$  $x=3$ 에서만 미분이 가능하지 않을 때, $f(0)$ 의 값을 구하여라.

[풀이]  $\left | \; f(x) \; \right |$ 가 $x-1, x-3$ 에서 미분이 가능하지 않으므로

$f(x)$ 는 $x-1, \; x-3$ 를 일차식으로 인수를 가져야한다.

또, $f(2)=0 $ 에서 $f(x)$는 $(x-2)^2$ 을 인수로 가져야 한다.

$$f(x)=(x-2)^2 (x-1)(x-3)   \;\; \therefore \; f(0)=12$$