절댓값을 포함한 함수의 미분가능 4

절댓값을 포함한 함수의 미분가능성

미분가능한 함수 $f(x),g(x)$에 대하여 함수 $f(x) \left |  (x-a)g(x) \right | $ (단, $g(a)\neq 0$)가  

$x=a$에서 미분가능하기 위해서는 $f(a)=0$이어야 한다.

 

함수 $|\,x\,|$는 $x=0$ 에서 미분가능하지 않다. $x=0$에서 미분이 가능하게 하기 위한 가장 간단한 방법은 $x$를 곱해주면 된다. 이를 응용해 나간 것이 이 번 글의 주제가 된다.

 

$\boxed{\textrm{Proof}}$

$h(x)=f(x) \left | (x-a)g(x) \right |$ 라 하면

\begin{align}
h'(a)&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{h(x)-h(a)}{x-a}  \\
&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) \left | (x-a)g(x) \right |}{x-a}  \\
&=\lim_{x \rightarrow a}\frac{|x-a|}{x-a} \cdot f(x) |g(x)|  
\end{align}

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow a+}\frac{x-a}{x-a}f(x)|g(x)|=f(a)|g(a)|\cdots(1)$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow a-}\frac{-(x-a)}{x-a}f(x)|g(x)|=-f(a)|g(a)|\cdots(2)$$

(1)=(2)이어야만 미분가능하므로

$$f(a)|g(a)|=-f(a)|g(a)|$$

$$f(a)|g(a)|=0\; (\because g(a)\neq 0 ) \therefore \; f(a)=0$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

Example 1   

함수 $f(x)=|x-1|(x+a)$ 가 $x=1$에서 미분가능하도록 하는 실수 $a$의 값은?

 

 

[풀이] $1+a=0$이 되어야 하므로 $\therefore \; a=-1$

 

 

 

Example 2 

함수 $f(x)=|x^2 -1 | (2x^2 +ax +b)$ 가 모든 실수에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$의 값을 구하여라.

 

 

[풀이] $2x^2 + ax + b$는 $\pm 1$ 을 두 근을 갖는다.

$$2x^2 + ax + b = 2(x-1)(x+1)$$ $$\therefore \;a=0,\; b=-2$$

 

 

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