틀을 깨는 기발한 수학

삼차함수의 변곡점과 근과 계수의 관계 삼차함수 $y=ax^3 +bx^2 + cx +d$ 와 직선 $y=mx+n$이 서로 다른 세 점 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 에서 만난다. 삼차함수의 변곡점의 $x$ 좌표를 $k$ 라 할 때, $$\alpha+\beta+\gamma =3k$$ 가 성립한다. [증명] 삼차함수는 변곡점에 대한 대칭이다. (이전 글 참고하라) 삼차함수 $y=ax^3 +bx^2 + cx +d$ 와 직선 $y=mx+n$이 서로 다른 세 점 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 에서 만나므로 $ax^3 + bx^2 + (c-m)x+d-n=0$ 의 세 근은 $\alpha, \; \beta, \; \gamma$ 이다. 근과 계수의 관계에 의해서 $$\alph..

역함수 미분법 사용 설명서 $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{ \displaystyle\frac{dx}{dy}}$$ 대부분 책에 소개되어있지만 대부분책에 증명은 나와있지 않다. 마치 역함수의 미분법을 역수 관계로 착각할 소지가 다분히 있어 보인다.(엄밀하게 말해서는 역수관계는 아니지만 고등학교 과정에서는 역수관계로 알고 있어도 무방하다.) [증명] 함수 $f(x)$ 가 미분가능하고 그 역함수를 $g(x)$ 라 하자. \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{k}{h} \\ &=\displaystyle \lim_{ k\to 0}..

매개변수로 표시된 함수의 이계도함수 구하기 $$\left\{\begin{matrix} x=f(t)\\ y=g(t) \end{matrix}\right. $$ 일 때 매개변수 미분법에 의해서 $$\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$$ 이므로 이계도함수 $$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$$ $$=\frac{d}{dt} \left( \frac{g'(t)}{f'(t)} \right) \times \..