평균값정리의 활용 | 합성함수의 극한

평균값 정리를 이용한 복잡한 합성함수의 극한

 

함수 $f(x)$가 닫힌구간  $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$에서 연속이고
열린구간 $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$ 에서 미분가능할 때,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\alpha$이면
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left(h(x)\right)-f\left(g(x)\right)}{h(x)-g(x)}=f'(\alpha)$$

가 성립한다.

 

평균값정리

함수 $f(x)$가 닫힌구간 $\left[\,a,b\,\right]$에서 열린구간 $\left(a,b\right)$에서 미분가능할 때,$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$를 만족하는 $c$가 열린구간$(a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

 

[증명]

함수 $f(x)$가 닫힌구간  $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$에서 연속이고
열린구간 $\left[ \,g(x), h(x)\,\right]$ 에서 미분가능할 때,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} g(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} h(x)=\alpha$이면

$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left(h(x)\right)-f\left(g(x)\right)}{h(x)-g(x)}=f'(c)$$를 만족하는 $c$가 열린구간 $\left( \,g(x), h(x)\,\right)$에 적어도 하나 존재한다. (단, $g(x)<c<h(x)$)

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow a} \frac{f\left(h(x)\right)-f\left(g(x)\right)}{h(x)-g(x)}&=\lim_{x\rightarrow a}f'(c) \\
&=\lim_{c\rightarrow \alpha}f'(c) \\
&=f'(\alpha)
\end{align}

 

아래 동영상 강의를 보시면 평균값정리를 기하학적으로 이해하실 수 있습니다.

https://youtu.be/tDxheMTm5aE

 

 

Example 1

   

   $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{\tan x-\sin x}$의 값을 구하여라.

 

 

[해설] 로피탈정리가 잘 작동되지 않는 대표적 유형이다. 로피탈정리를 이용하면 식이 더 복잡하게 된다.

$f(x)=e^x$라 하면 $f'(x)=e^x$이고

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\tan x = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\sin x =0$ 이므로$$ \therefore\;\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{\tan x}-e^{\sin x}}{\tan x-\sin x}=f'(0)=1$$

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

Example 2

   

   $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin(2^x )-\sin(\cos x)}{2^x-\cos x}$의 값을 구하여라.

 

 

[해설]  $f(x)=\sin x$라 하면 $f'(x)=\cos x$이고
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} 2^x = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\cos x =0$ 이므로$$ \therefore\;\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\sin(2^x )-\sin(\cos x)}{2^x-\cos x}=f'(0)=1$$

 

 

 

 

Example 3

 

 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{1-\sin x}- e^{1-\tan x}}{\tan x-\sin x}$의 값을 구하여라.

 

 

[해설]  $f(x)=e^x$라 하면 $f'(x)=e^x$이고
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} (1-\sin x) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} (1-\tan x) =1$ 이므로$$ \therefore\;\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^{1-\sin x}- e^{1-\tan x}}{\tan x-\sin x}=f'(1)=e$$