신뢰계수의 활용 | 신뢰구간 | 최점점수

신뢰계수를 활용하여 다양한 식 만들기

신뢰계수 $z_p$는 위의 표준정규분포 곡선에서

$$\textrm{P} \left( 0 \leq Z\leq z_p \right)=p$$로 정의한다.

$z$	$\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq z\right)$
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
2.5	0.4938

예를 들어 위의 표준정규분포표에서

$$z_{0.3413}=Z_{\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq 1\right)}=1$$

$$z_{0.4332}=Z_{\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq 1.5\right)}=1.5$$ $$z_{0.4772}=Z_{\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq 2\right)}=2$$ 간단하게  $$z_{0.4938}=2.5$$ $$z_{0.1915}=0.5$$로 표현할 수 있다.

이렇게 표현함으로서 풀이과정의 복잡성을 줄일 수 있다. 단순히 $k$, $1.96$, $2.58$로 쓰는 것보다 조금더 의미를 부여할 수 있는 장점이 있다.

 

 

평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포를 따르는 집단에서 합격할 확률이 $\alpha$ 일 때,  최저점수는$$m+\sigma \times z_{0.5-\alpha}$$이다.

확률변수 $X$가 정규분포 $N\left(m, \sigma^2 \right)$를 따를 때, 최저점수를 $A$, 합격할 확률을 $\alpha$라 할 때,

$$\textrm{P}(X\geq A)=\textrm{P}\left( Z \geq \frac{A-m}{\sigma}\right)=\alpha $$

$$\frac{A-m}{\sigma}\geq z_{0.5-\alpha}$$

$$\therefore \;A=m+\sigma \cdot z_{0.5-\alpha}$$

 

Example 1

어느 대학에 응시한 수험생들의 시험점수를 확률변수 $X$라할 때, $X$는 평균이 62, 표준편차가 12인 정규분포를 따른다고 한다. 응시자의 상위 4% 이상에 해당하는 수험생의 성적을 1등급이라고 할 때, 1등급을 받기 위한 최저 점수를 구하여라.  단, $\textrm{P} \left( 0 \leq Z\leq 1.75 \right)=0.46$ 

 

[풀이] $62+12\times z_{0.5-0.04}=62+12\times z_{0.46}=62+12\times 1.75 = 83$ 점

 

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나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

모표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르는 모집단에서  표본의 크기가 $n$인 표본을 임의추출하여 모평균을 추정할 때, 신뢰구간의 길이 $l$ , 신뢰도 $\alpha \times 100$%라 할 때,

$$z_{\alpha / 2}= \frac{l\sqrt{n}}{2\sigma}$$가 성립한다.

 

신뢰구간의 길이를 $l$이라 할 때,

$$l=2\cdot z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\; \therefore \; z_{\alpha / 2}= \frac{l\sqrt{n}}{2\sigma}$$

 

 

Example 2

정규분포 $N\left( m, \sigma^2 \right)$을 따르는 모집단의 평균을 크기가 $n$인 표본의 평균을 이용하여 추정할 때, 신뢰도가 80%인 신뢰구간의 길이를 $l$이라고 하면 길이가 $2l$인 신뢰구간의 신뢰도는?

$z$	$\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq z\right)$
1.28	0.400
1.96	0.475
2.56	0.495

 

[풀이] 구하는 신뢰도를 $\alpha\times 100$%라 하면

$$z_{0.8/2}=z_{0.4}=1.28=\frac{l \sqrt{n}}{2\sigma}$$

$$z_{\alpha/2}=\frac{l \sqrt{n}}{2l\sigma}=2\times 1.28=2.56$$

$$\alpha/2 =0.495\;\; \therefore \alpha=0.99$$

따라서 구하는 신뢰도는 $99$%이다.

 

 

Example 3

어느 회사에서 생산되는 야구공의 무게는 표준편차가 $5g$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산되는 야구공 중에서 $100$개를 뽑아 무게를 조사하여 신뢰도 $96$%로 모평균을 추정하였더니 신뢰구간의 길이가 $l$이었다. 모평균 $m$을 신뢰도 $\alpha(\times 100)$%로 추정한 신뢰구간의 길이가 $\displaystyle\frac{l}{2}$일 때, $\alpha$의 값을 구하여라.

$z$	$\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq z\right)$
1.0	0.34
2.0	0.48
3.0	0.49

 

[풀이] $z_{0.96/2}=z_{0.48}=2=\displaystyle\frac{l \sqrt{100}}{2\times5}$ 에서   $l=2$

$$z_{\alpha /2}=\frac{(l/2)\sqrt{100}}{2\times 5}=1 $$

$$\therefore \, \alpha /2 =0.34 \;\; \therefore \alpha=0.68$$

 

모표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르는 모집단에서 모평균을 추정할 때, 
   신뢰도 $\alpha(\times 100)$ , 표본의 크기 $n_1$, 신뢰구간의 길이 $l_1$  
   신뢰도 $\alpha(\times 100)$ , 표본의 크기 $n_2$, 신뢰구간의 길이 $l_2$ $$\frac{l_1 \sqrt{n_1}}{z_{\alpha /2}}=\frac{l_2 \sqrt{n_2}}{z_{\beta /2}}$$ 특히, 동일한 신뢰도에서는 $$l_1 \sqrt{n_1}=l_2 \sqrt{n_2}$$이 성립한다.

 

모집단의 모평균 $m$, 모분산 $\sigma^2$, 모표준편차 $\sigma$는 절대로 변하지 않은 상수이다.

동일한 모집단에서 임의추출한 두 표본으로 신뢰구간을 추정할 때,

신뢰구간 $l$은$$l=2\cdot z_{\alpha /2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$이고 모표준편차 $\sigma$ 는 불변하므로 $$\sigma=\frac{l_1 \sqrt{n_1}}{z_{\alpha /2}}=\frac{l_2 \sqrt{n_2}}{z_{\beta /2}}$$가 성립한다.

같은 신뢰도로 표본을 추출하면  $z_{\alpha /2 }=z_{\beta /2}$ 이므로 $$l_1 \sqrt{n_1}=l_2 \sqrt{n_2}$$가 성립한다.

 

 

 

Example 4

정규분포를 따르는 모집단에서 크기 200인 표본을 이용하여 모평균을 추정하였을 때, 신뢰구간의 길이가 $l$이라고 한다. 같은 신뢰도로 모평균을 추정하여 신뢰구간의 길이가 $2l$이 될 때 표본의 크기를 구하여라.

 

[풀이] $l \sqrt{200}=2l \sqrt{n} $ 에서 $\therefore\; n=50$

 

 

 

 

Example 5

분산이 $\sigma^2$인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출하여 모평균 $m$을 추정한 후 신뢰구간의 길이를 구하고자 한다. 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $79.6$%의 신뢰구간의 길이가 $l$이고, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $\alpha$%의 신뢰구간의 길이는 $2l$이다. 이 때,  $\alpha$의 값은? 

$z$	$\textrm{P}\left(0 \leq Z\leq z\right)$
1.27	0.3980
1.69	0.4545
1.96	0.4750
2.54	0.4945
3.29	0.4995

 

 

[풀이] $\displaystyle\frac{\alpha}{100}=A$라 하면 $$\frac{l \sqrt{n}}{z_{z_{0.796/2}}}=\frac{2l \sqrt{n}}{z_{A /2}}$$ $$z_{A/2}=2\times z_{0.398}=2\times 1.27=2.54$$ $$A/2=0.4945$$ $$A=0.989 \;\; \therefore\; \alpha = 98.9$$

 

 

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