로피탈의 정리의 활용 끝판왕

로피탈정리  활용 안내서

 

로피탈정리 미분 가능한 두 함수 $f(x)$와  $g(x)$가
$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c} g(x)=0 $ (또는 $\infty$) 이고
$\displaystyle\lim_{x\to c}\displaystyle\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 가 존재하면
$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$가 성립한다.

 

로피탈정리의 엄밀한 증명은 고등학교 과정의 수준을 넘어간다. 꼭 못할 정도는 아니지만 현행 교육과정에는 포함되어 있지 않다. 정확하게 말하자면 극한의 시작부터가 고교과정을 넘어가는 내용이다. 그러나 부정형 극한 문제를 다루는 데 있어서 이것만 한 도구도 없기 때문에 대놓고 배우지는 않지만 어지간한 학생들은 대부분은 다 알고 있다고 해도 무방하다. 한 번도 들어보지 못한 학생은 없을 것이다.  이 번 글은 로피탈정리의 엄밀한 증명이 아니라 고교과정에서 사용할 수 있는 범위와 방법에 대해서 이야기해 보려고 한다.

 

먼저 로피탈정리는 부정형 $\left( \displaystyle\frac{0}{0}\right) \textrm{or} \left( \displaystyle\frac{\infty}{\infty}\right)$에서 사용할 수 있다.

 

부정형이 아닌 꼴에서는 사용할 수 없다.

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 + 3}{x+1} \neq \lim_{x \to 1}\frac{2x}{1}=2 $$

 

로피탈정리를 한 후에도 부정형이 나오면 반복적으로 계속 사용할 수 있다.

\begin{align}
\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^3 - x^2 - x +1}{x^3 -2x^2 +x} &= \displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{3x^2 -2x -1}{3x^2 - 4x +1} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{6x-2}{6x-4}=2
\end{align}

 

 

Example 1

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^{10} + 2x -3}{x^2 -1}$ 의 값을 구하여라.

 

Solve

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{10x^9 +2}{2x}=6$ 

 

 

 

Example 2

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} + ax +b}{x^3 -1}=3$ 에서 $a, \, b$ 의 값은?

 

Solve

분모$\to 0$,  분자$\to 0$에서 $1+a+b=0$ 

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{2x+a}{3x^2}=\displaystyle\frac{2+a}{3}=3$ 에서

$\therefore\; a=7, \; b=-8$ 

 

 

 

Example 3

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2 +2ax +b}{x-1} & (x \neq 0)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 & (x = 0)\end{cases}$ 가 $x=1$에서 연속일 때, 상수 $a,\,b$에 대하여 $a+b$의 값은?

 

Solve

함수 $f(x)$가 $x=1$ 에서 연속이므로 $f(1)=\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)$ 이다.

$$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2 +2ax +b}{x-1}=2$$

분모$\to 0$,  분자$\to 0$에서 $1+2a+b=0$ 

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{2x+2a}{1}=2+2a=2$

$a=0,\; b=-1$  $\therefore\; a+b=-1$

 

 

 

 

 

Example 4

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x^2 + 3}-2}{x -1}$ 의 값을 구하여라.

 

Solve   $\left(\sqrt{f(x)}\right)'=\displaystyle\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ 이용한다.

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x^2 + 3}-2}{x -1}=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x^2 +3}}}{1}=\frac{1}{2}$

 

 

 

 

Example 5

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)=2$,  $f'(1)=4$ 일 때,$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^3 f(1)-f(x^2 ) }{x^2 -1}$ 의 값을 구하여라.

 

Solve

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{3x^2 f(1)-2xf'(x^2)}{2x}=\frac{3f(1)-2f'(1)}{2}=-1$

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

Example 6

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x+1)-2}{x^2 + 2x}=1$일 때, 

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x^2) -f(1)-2}{x-1}$의 값을 구하여라.

 

Solve

\begin{flalign}
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x+1)-2}{x^2 + 2x}&=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f'(x+1)}{2x + 2} \\
&=\frac{f'(1)}{2}=1 &&
\end{flalign} 에서  $f'(1)=2$ 이다.
\begin{flalign}
\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x^2) -f(1)-2}{x-1}&=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{2xf'(x^2) }{1} \\
&=2f'(1)=4 &&
\end{flalign}

 

 

 

Example 7

  $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{(x^4 -1) (x^2 +2x +1)^5 }{(x^3 -1)(x^2 +1)^{10} }$

 

Solve  식전체를 미분하면 식이 복잡해지므로 (0/0) 꼴이 되는 곳만 꼭 찝어서 로피탈정리를 써준다.

 $\color{fuchsia} \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ x^4 -1 }{x^3 -1} \color{black} \cdot  \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ (x^2 +2x +1)^5 }{(x^2 +1)^{10} } = \color{fuchsia} \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{4x^3}{3x^2 } \cdot  \color{black} \frac{4^5}{2^{10}}=\frac{4}{3}$

 

 

 

Example 8

최고차항의 계수가 1이고 $f(1)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$가$$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{(x-2)\left\{ f'(x) \right\}^2}=\frac{1}{4}$$을 만족시킬 때, $f(3)$의 값을 구하여라. [2018년 수능]

 

Solve $$\color{red} \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{ f(x) }{x-2} \color{black} \cdot  \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{ 1 }{  \left\{ f'(x)  \right\}^2 } =\frac{1}{4}$$ $$\color{red} \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{ f'(x) }{1} \color{black} \cdot  \displaystyle\frac{ 1 }{  \left\{ f'(2)  \right\}^2 } =\frac{1}{4}$$ $f'(2)=4$ 한편, 문제의 조건에 맞게 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)$라 하면

$f'(2)=2-a=4$에서 $a=-2$

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x+2)\;\; \therefore\; f(3)=10$$

 

 

Example 9

다항함수 $f(x)$가 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1 }{x^2 -1 } \int_{1}^{x}(t^3 - 3t+4)dt$ 의 값은?

 

Solve

 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{1}^{x}(t^3 - 3t+4)dt }{x^2 -1 } =\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3 - 3x+4}{2x }=1$

 

 

 

 

Example 10

 $\displaystyle\lim_{x\to 0+} x \ln x$

 

Solve 로피탈 정리를 쓰기 위해서는 부정형 꼴로 변형해주어 한다.

\begin{flalign}
\displaystyle\lim_{x\to 0+} x \ln x&=\displaystyle\lim_{x\to 0+} \frac{\ln x}{\displaystyle\frac{1}{x}}\;\; \left( \frac{\infty}{\infty} \right) \\
&=\displaystyle\lim_{x\to 0+} \frac{    \displaystyle  \frac{1}{x}      }{-\displaystyle\frac{1}{x^2}} \\
&= \displaystyle\lim_{x\to 0+} (-x)=0 &&
\end{flalign}

 

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

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Example 11

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\cos (\pi x) \sin (x^2 -1)}{x^3 -1}$

 

Solve    0/0 부분만 꼭 찝어서 미분해준다.

\begin{flalign}\color{red} \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ \sin( x^2 -1 )  }{x^3 -1} \color{black} \cdot  \displaystyle\lim_{x\to 1} \cos \pi x &= \color{red} \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{ 2x \cos (x^2 -1) }{3x^2} \color{black} \cdot  (-1)\\
&=-\frac{2}{3} &&
\end{flalign}

 

 

Example 12

  $\displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2}        }\frac{1}{(2x-\pi)^3} \int_{\frac{\pi}{2}    }^{x}  \cos^2 tdt$

 

Solve 

\begin{flalign}
\displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2}        }\frac{\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}    }^{x}  \cos^2 tdt}{(2x-\pi)^3}  & \underbrace{=}_{로피탈}\displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2}        }\frac{ \cos^2 x}{6(2x- \pi)^2} \\
& \underbrace{=}_{로피탈}\displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2} } \frac{ -2\sin x\cos x}{24(2x- \pi)} \\
&=\displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2} }\frac{-\sin x}{12} \cdot   \displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2} }\frac{\cos x}{2x-\pi} \\
& \underbrace{=}_{로피탈} -\frac{1}{12}  \displaystyle\lim_{x\to  \frac{\pi}{2} }\frac{-\sin x}{2} =\frac{1}{24} &&
\end{flalign}

 

 

 

로피탈정리가 잘 안되는 경우

 

Example 13

 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin ^3 x}{2\sin x -\sin 2x}$

 로피탈정리를 한 번 사용한 후 다시 부정형이 되면서 식이 복잡해지는 경우이다. 로피탈정리를 반복적으로 사용한 후에도 계속 (0/0) 부정형에서 빠져 나오지 못하는 경우이다. 이 때는 로피탈정리만으로는 문제가 더 복잡하게 된다.

이런 경우에는 식을 적절하게 변형해가면서 로피탈정리를 병행해야 한다. 실제로 일반적인 풀이도 복잡한 것은 비슷하게 된다. 참고로 이전 포스트인 "초월함수의 근사"를 참고하면 된다.

 

Solve 이 문제는 로피탈 정리를 세 번 해야만 부정형에서 빠져나온다.

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x $이므로

\begin{flalign}
\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin ^3 x}{2\sin x -2\sin x \cos x}&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin ^3 x}{2\sin x -2\sin x \cos x} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin ^3 x}{2\sin x(1 - \cos x)} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin ^2 x}{2(1 - \cos x)} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{2(1 - \cos x)} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1+\cos x}{2}=1 &&
\end{flalign}

로피탈 정리만 가지고 해결하기는 곤란한 문제가 된다.

 

 

Example 14

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{1-\sin x} -e^{1-\tan x}}{\tan x -\sin x}$

Solve  대표적으로 로피탈정리가 잘 적용이 되지 않는 유형이다. 평균값의 정리를 사용해야 한다.

이전 포스팅을 참고하면 된다.

 

나만 알고 싶은 나만의 수학 비법

 

 

\begin{flalign}
(1)\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}&=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \\
&\cdots &&
\end{flalign}

 이 문제는 로피탈정리를 쓰면 무한히 원래 문제가 반복적으로 나타난다.

\begin{flalign}\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}&=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{x \sqrt{   \displaystyle\frac{1}{x^2}+1}} \\
&=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1}{ \sqrt{   \displaystyle\frac{1}{x^2}+1}} \\
&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{0+1}} =1&&
\end{flalign}

 

$(2)\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1+\cos x}{1}= $ 발산(오답)

왜냐면 $\displaystyle\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 값이 존재해야만 $\displaystyle\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}$의 값을 알 수 있기 때문이다.

 

  $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x+\sin x}{x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left( 1+\frac{\sin x}{x}\right)= 1$

 

$(3) \displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1+\cos x}{1-\sin x}= $발산
하므로  $ \displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}$값을 로피탈정리로 구할 수 없다.

  $\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x+\sin x}{x+\cos x}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{1+\displaystyle\frac{\sin x}{x}}{1+\displaystyle\frac{\cos x}{x}}=\frac{1+0}{1+0}=1$

로피탈정리가 잘 안 되는 $\frac{\infty}{\infty}$유형이다. 굳이 로피탈정리를 쓰지 않아도 되는 수준의 문제이만 참고하기 바란다. (2), (3)은 로피탈정리를 사용한 후 극한값이 존재하지 않으면 원래 극한값이 존재하지 유무를 알 수 없다는 것을 확인하기 바란다.

 

 

극한 문제를 로피탈정리만으로 풀 수는 없다. 가장 좋은 풀이 방법은 두 말할 필요 없이 정의에 의해서 푸는 것이다. 자신에게 정의에 의한 방법이 더 쉽고 익숙하다면 로피탈정리는 굳이 쓰지 않아도 된다. 그러나 알고는 있어야 한다. 사용하고 안 하고는 그다음 문제이다. 이 장에서도 그런 의미에 초점을 맞추어서 설명했다.